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類球面

(重定向自类球面
椭圆围绕一个垂直轴旋转而成的类球面
Spheroids.svg
扁球面 長球面

類球面是一種二次曲面。二維的橢圓有兩個主軸,稱為長軸短軸。在三維空間裏,將一個橢圓繞著其任何一主軸旋轉,則可得到一個類球面。

  • 假若,這旋轉主軸是長軸,則這個類球面為長球面。例如,英式足球裏所用的橄欖球是長球形狀。
  • 假若,這旋轉主軸是短軸,則這個類球面為扁球面。例如,地球在北極與南極稍微有點扁平,在赤道又有點凸漲。所以,地球是扁球形狀。
  • 假若,生成的橢圓是圓圈,則這個類球面為完全對稱的圓球面

方程式编辑

 
对类球面半轴的赋值。如果c < a则为扁球面(左图)而如果c > a则为长球面(右图)。

用另外一種方法來描述,類球面是一種橢球面。採用直角坐標 ,橢球面可以表達為

 

其中,  分別是橢球面在x-軸與y-軸的赤道半徑 是橢球面在z-軸的極半徑,這三個正值實數的半徑決定了橢球面的形狀。 以z-轴为旋转轴的类球面 ,它的方程为:

 
  • 假若,三個半徑都相等,則這橢球面是圓球面
 
  • 假若,類球面的赤道半徑小於極半徑,則這是類球面是長球面:
 
  • 假若,類球面的赤道半徑大於極半徑,則這是類球面是扁球面:
 

性质编辑

面積编辑

扁球面c < a,它的表面积为:

 其中 

扁球面是半长轴为a而半短轴为c的椭圆围绕z-轴旋转而形成的,因此e可看作为离心率[1]

长球面c > a,它的表面积为:

 其中 

长球面是半长轴为c而半短轴为a的椭圆围绕z-轴旋转而形成的,因此e可看作离心率[2]

體積编辑

類球的體積是 

曲率编辑

假若,一個類球面被參數化為

  ;

其中, 參數緯度parametric latitude),  經度 

那麼,類球面的高斯曲率Gaussian curvature)是

 

類球面的平均曲率mean curvature)是

 

對於類球面,這兩種曲率永遠是正值的。所以,類球面的每一點都是橢圓的。

參閱编辑

引用编辑

  1. ^ A derivation of this result may be found at Oblate Spheroid - from Wolfram MathWorld. Mathworld.wolfram.com. [24 June 2014]. 
  2. ^ A derivation of this result may be found at Prolate Spheroid - from Wolfram MathWorld. Mathworld.wolfram.com. 7 October 2003 [24 June 2014].