紐結多項式

紐結理論中,扭結多項式指的是一類以多項式表達的紐結不變量(knot invariant),而此類多項式的係數則表示它所代表的紐結的一些性質。

歷史编辑

第一個已知的紐結多項式,也就是所謂的亞歷山大多項式,是由詹姆斯·韋德爾·亞歷山大在1923年引進的,但其他的紐結多項式卻一直都沒找到,直到近六十年後。

在1960年代,約翰·何頓·康威找出了一個對於亞歷山大多項式的某版本的糾結關係(skein relation),這又被稱為所謂的康威─亞歷山大多項式。糾結關係的重要性直到1980年代前期沃恩‧鍾斯發現鍾斯多項式前都未被理解。這導致了更多紐結多項式的發現,如所謂的HOMFLY多項式

鍾斯發現該多項式不久後,路易‧考夫曼(Louis Kauffman)便注意到說鍾斯多項式可藉由配分函数(即泛函积分狀態和模型、state-sum model)來計算,這牽涉到所謂的括號多項式,該多項式為框多項式(framed knot)的一個不變量。這開啟了連結紐結理論和统计力学間關係的研究。

在1980年代晚期,這方面有兩個重要的突破。爱德华·威滕指出了鍾斯多項式及相似的鍾斯式不變量,有個以陳─西蒙斯理論陈-西蒙斯理论)進行解釋的方法。維克托‧瓦西里耶夫(Viktor Vassiliev)和米哈伊爾‧高薩羅夫(Mikhail Goussarov)則開始了紐結的有限類不變量(finite type invariant)的理論。

近年來,亞歷山大多項式已被證明與弗洛爾同調(Floer homology)相關。

陈-西蒙斯理论编辑

三维的陈-西蒙斯理论生成很多重要的纽结多项式和纽结不变量:[1]

陈西理论的纽结拓扑不变量
陈西规范群G 纽结多项式或不变量
SO(N) 考夫曼多項式
SU(N) HOMFLY多項式
SU(2)或SO(3) 鍾斯多項式(跟括號多項式有关)
U(1) 环绕数

相關書目编辑

參見编辑

特定的紐結多項式编辑

相關主題编辑


参考文献编辑

  1. ^ Witten, Edward. Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics. 1989-09, 121 (3): 351–399. ISSN 0010-3616. doi:10.1007/BF01217730 (英语).