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數學裡,尤其是在抽象代數裡,交換環質元素(prime element)是指滿足類似整數裡的質數不可約多項式之性質的一個數學物件。須注意的是,質元素與不可約元素之間並不相同,雖然在唯一分解整環裡是一樣的,但在一般情況下則不一定相同。

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定義编辑

交換環 R 的元素 p 被稱為質元素,若該元素不為 0 或單位元素,且若 p 整除 ab(a 與 b 為 R 內的元素),則 p 整除 a 或 p 整除 b。等價地說,一元素 p 為質元素,若且唯若由 p 產生的主理想 (p) 為非零質理想[1]

對質元素的興趣來自於算術基本定理。該定理斷言,每個非零整數都可以以唯一一種方式寫成 1 或 -1 乘上一串正質數之乘積。這導致了對唯一分解整環的研究,推廣了僅在整數內被描述之概念。

一個元素是否為質元素,取決於該元素處於哪個環內;例如,2在 Z 裡是個質元素,但在高斯整數環 Z[i] 裡則不是,因為 2 = (1 + i)(1 - i) 且 2 無法整除等式右邊的任一因子。

與質理想間的關連编辑

環 R 內的一個理想 I 為質理想,若商環 R/I 為一整環

一非零主理想質理想,若且唯若該主理想由一質元素所產生。

不可約元素编辑

不可將質元素與不可約元素搞混。在一整環裡,每個質元素都是不可約元素[2],但反之不一定成立。不過,在唯一分解整環[3](或更一般地,在GCD環)裡,質元素與不可約元素會是相同的元素。

舉例來說,在二次整數環英语quadratic integer ring 中,可以用範數證明 3 是不可約元素。不過,3 不是質元素,因為

 

  無法整除  ,也無法整除  [4]

例子编辑

下面為環裡的質元素之例子:

  • 在整數環 Z 裡的整數 ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ...
  • 高斯整數環 Z[i] 裡的複數 (1+i)、19 與 (2+3i)
  • 在 Z 上之多項式環 Z[x] 裡的多項式 x2 − 2x2 + 1

參考資料编辑

註記
  1. ^ Hungerford 1980,Theorem III.3.4(i) 如書中所證明的,這兩個陳述等價。
  2. ^ Hungerford 1980,Theorem III.3.4(iii)
  3. ^ Hungerford 1980,Remark after Definition III.3.5
  4. ^ William W. Adams and Larry Joel Goldstein. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Inc. 1976: 250. ISBN 0-13-491282-9. 
參考書籍
  • Kaplansky, Irving, Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc.: x+180, 1970, MR 0254021