打开主菜单

拓扑学中,紧生成空间(又称k-空间)是一种拓扑空间、其拓扑为所有紧致子空间族的凝聚。具体而言,我们称拓扑空间X 为紧生成空间,当它满足:

子空间AX 中的闭集当且仅当对所有紧子集KXAKK 中的闭集。

等价地,我们也可以将以上条件中的“闭集”替换成“开集”。实际上,只要X 的拓扑是任意紧覆盖的凝聚(在以上的意义上),那么它的拓扑就是所有紧致子空间的凝聚。

相似地,紧生成豪斯多夫空间 是紧生成的豪斯多夫空间。与许多紧致性条件类似,“紧生成空间”也经常代指紧生成豪斯多夫空间。

动机编辑

紧生成空间最初被称为k-空间,由德语kompakt 得名。胡列维茨最先研究了紧生成空间,在Kelley的《一般拓扑学》、Dugundji的《拓扑学》、Félix、Halperin及Thomas的《有理同伦论》等著作中可以找到对紧生成空间的记录。

对紧生成空间的更深层的研究始于1960年代,其动机是惯常的拓扑范畴有着公认的缺陷。这个缺陷是它并非笛卡儿闭范畴,即粘合映射的笛卡儿积并不总是粘合映射,而CW复形的笛卡儿积并不总是CW复形。相比之下,单纯集合的范畴则有许多方便的性质,其中就包括了笛卡儿闭。对如何补救这个缺陷,数学家们作了长时间的研究;这段历史在ncatlab网站上的文章convenient categories of spaces中有更详细的记载。

最初的补救尝试(于1962年)是限制到紧生成豪斯多夫空间这一完全子范畴中,而这个子范畴事实上确是笛卡儿闭的。这些想法延伸到de Vries对偶性定理。在下文我们将给出幂对象的定义。另一个尝试(于1964年)则是考虑惯常的豪斯多夫空间,但将映射改为在紧致子集上连续的函数。

这些想法都可以推广到非豪斯多夫的情况,参考Topology and groupoids一书的第5章第9节。这个推广的意义在于,豪斯多夫空间的粘合空间并不一定是豪斯多夫空间。更多相关信息,请参考Booth与Tillotson的论文。

范例编辑

数学中大多数常用的拓扑空间都是紧生成的。

  • 所有紧空间都是紧生成的。
  • 所有局部紧空间是紧生成的。
  • 所有第一可数空间都是紧生成的。
  • 拓扑流形是局部紧的豪斯多夫空间,因此也是紧生成豪斯多夫空间。
  • 度量空间是第一可数空间(甚至是第二可数),因此也是紧生成豪斯多夫空间。
  • 所有CW复形都是紧生成豪斯多夫空间。

性质编辑

我们用CGTop代表Top的对象为紧生成空间的完全子范畴,而用CGHaus代表CGTop的对象为同时满足豪斯多夫的空间的完全子范畴。

给定任意拓扑空间X,我们可以如下在X 上定义一个新的、可能更精细的拓扑,使X 为紧生成空间。设 {Kα} 为X 的紧致集合的搜集。我们声明X 的子集A 在新拓扑中为闭集当且仅当对于任意α,AKαKα 中都是闭集。记新空间为Xc 。我们可以证明Xc 中的紧致集合与X 中的完全一致,而且这些紧致集合从两空间诱导的相对化拓扑也相同。由此可以推出,Xc 是紧生成空间,并且如果X 本身已经是紧生成的,那么Xc = X ,否则Xc 将严格比X 精致(即拥有更多开集)。

以上的构造是函子性的,即把X 映射到Xc 是从TopCGTop的函子,而且这个函子是CGTopTop包含函子右伴随

定义在紧生成空间X 上的映射的连续性可以完全由X 的紧致子集决定。具体而言,函数f :XY 是连续的当且仅当它在每一个紧致子集KX 上的限制都是连续的。

即使XY 均是紧生成空间,他们的X × Y 也不一定是紧生成的(但若至少其中一个因子是局部紧的,那么积就是紧生成的)。因此,在紧生成空间的范畴内,我们必须定义XY 的积为(X ×Y )c

范畴CGHaus中的幂对象是由(Y X )c 给出,其中Y X 代表从XY连续函数的空间,赋予紧致开拓扑

这些概念可以被推广到非豪斯多夫的情况,参考Topology and groupoids一书的第5章第9节。推广的意义在于豪斯多夫空间的粘合空间不一定是豪斯多夫空间。

另见编辑

参考资料编辑