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概率论统计学中,一个随机变量累积量是指一系列能够提供和一样的信息的量。累积量和随机变量的矩密切相关。如果两个随机变量的各阶矩都一样,那么它们的累积量也都一样,反之亦然。

对于随机变量而言,一阶累积量等于期望值,二阶累积量等于方差,三阶累积量等于三阶中心矩,但是四阶以及更高阶的累积量与同阶的中心矩并不相等。在某些理论推导中,使用累积量更加方便。特别是当两个或者更多的随机变量相互独立时,它们的 阶累积量的和等于它们和的阶累积量。另外,服从正态分布的随机变量的三阶及以上的累积量为

定义编辑

一个随机变量  阶累积量 可以用所谓的累积生成函数来定义

 

从上面的观察可知,累积量可以通过对生成函数 (在0处)进行求导得到。也就是说,累积量是 麦克劳林级数的系数。

 

如果使用 (没有中心化)的 阶矩 矩生成函数则可以定义:

 

使用形式幂级数定义的对数函数

 

随机变量的累积量和随机变量的矩密切相关。比如说,随机变量X有期望 方差   ,那么它们也是前两阶的累积量:  

要注意有时候 阶矩会用角括号来表示: ,累积量则用下标 的角括号表示: 


如果随机变量的矩生成函数不存在,那么可以通过后面对于累积量与矩之间的关系的讨论定义累积量。


有些作者[1][2]偏向于定义累积生成函数为随机变量的特征函数诱导的自然对数。这种定义下的累积生成函数也被称为随机变量的第二类特征函数[3][4]

 

统计数学中的应用编辑

使用累积量的一个优势是它对应的生成函数是加性函数。比如说对两个独立的随机变量  

 

它们的和的累积量是各自的累积量的和。

一些具体概率分布的累积量编辑

  • 常量 的累积生成函数是  。 一阶累积量是 ,其他阶的累积量均为0,  
  • 服从伯努利分布的随机变量的累积生成函数是  。一阶累积量是 ,二阶累积量是 ,累积量满足递推公式
 
  • 服从几何分布的随机变量的累积生成函数是 。 一阶累积量是 ,二阶累积量是 
  • 服从泊松分布的随机变量的累积生成函数是 。所有的累积量军等于参数 :  
  • 服从二项分布的随机变量的累积生成函数是 。 一阶累积量是 ,二阶累积量是 
  • 服从负二项分布的随机变量的累积生成函数的导数是 。一阶累积量是 ,二阶累积量是 

相關條目编辑

参考来源编辑

  1. ^ Kendall, M.G., Stuart, A. (1969) The Advanced Theory of Statistics, Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)
  2. ^ Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)
  3. ^ Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)
  4. ^ Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) Independent Component Analysis, John Wiley & Sons. (Section 2.7.2)

外部链接编辑