求和符号

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求和符号(英語:summation;符號:,讀作:sigma),是欧拉于1755年首先使用的一个数学符号。这个符号是源自于希腊文σογμαρω(增加)的字头,Σ正是σ的大写。

求和指的是將給定的數值相加的過程,又稱為加總。求和符號常用來簡化有多個數值相加的數學表達式

假設有個數值,則這個數值的總和可表示為

用等式來呈現的話就是


舉例來說,若有4個數值:,則這4個數值的總和為:

在數學中,求和是任何類型數字的序列相加,稱為加數或加數;結果是它們的總和或總數。除了數字之外,也可以對其他類型的值求和:函數、向量、矩陣、多項式,以及通常在其上定義了表示為“+”的運算的任何類型的數學對象的元素。

無限序列的總和稱為級數。它們涉及極限的概念,本文不予考慮。

顯式序列的總和表示為一連串的加法。例如,[1, 2, 4, 2] 的和記為 1 + 2 + 4 + 2,得到 9,即 1 + 2 + 4 + 2 = 9。因為加法是結合可交換的,所以有不需要括號,無論加法的順序如何,結果都是一樣的。只有一個元素的序列的總和會產生這個元素本身。按照慣例,空序列(沒有元素的序列)的總和結果為 0。

求和方法编辑

  1. 裂項法:利用 求出 
  2. 錯位相減法:透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。
  3. 倒序求和:對於有對稱中心的函數 首尾求和[1][2]
  4. 逐項求導:可從 推導出 [3]
  5. 阿貝爾變換
 

含多項式求和公式编辑

以下設p為多項式, 

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 是對一個多項式求和,自然數方冪和、等幂求和、等差數列求和都屬于對多項式求和。

  • 帕斯卡矩陣形式
     [4]
  • 差分變換形式
     
     [5]

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 為多項式, 易求高階導數時, 有封閉型和式

 [6]

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  •  
    有限和 有封閉型和式
    當p為常數時,是對等比數列求和,當p為一次多項式時,是對差比數列求和。
     
     [4]

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  •  
     [7]

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 ,其中 調和數調和級數

組合數求和公式编辑

一阶求和公式编辑

  •  
  •  
  •  [参 1]
  •  [参 2]
 
  •  
 
 
 

二阶求和公式编辑

  •  
  •  [参 3]
 
 
 
  •  

范德蒙恒等式與超幾何函數有關係:

 

三阶求和公式编辑

  •  

范德蒙恒等式與廣義超幾何函數有關係:

 

定積分判斷總和界限编辑

 在[a,b]單調遞增時:

 

 在[a,b]單調遞減時:

 [8]

求和函数编辑

 为例:

syms k n;symsum(k^9,k,1,n)
 In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
 Out[1]:=  

参考资料编辑

  1. ^ 赵丽棉 黄基廷. n次单位根在代数问题中的应用. 高等数学研究. 2010, (4) [2018-06-24]. (原始内容存档于2019-05-02). 
  2. ^ 徐更生 何廷模. 斐波那契数列与组合数的一个关系及推广. 中学教研. 1991, (10) [2018-06-24]. (原始内容存档于2019-05-02). 
  3. ^ 伍启期. 组合数列求和. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4) [2018-06-24]. (原始内容存档于2019-05-02). 
  1. ^ 马志钢. 倒序求和几例. 中学生数学. 2006, (5) [2014-07-16]. (原始内容存档于2019-05-09). 
  2. ^ 郭子伟. 高中基础数列知识微型整理. 数学空间. 2011, (1): 第11页 [2014-07-16]. (原始内容存档于2016-03-04). 
  3. ^ 吴炜超. 数列{n^m.k^n}的求和方法. 数学空间. 2011, (7): 第38–39页. 
  4. ^ 4.0 4.1 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7) [2016-05-18]. (原始内容存档于2020-01-15). 
  5. ^ Károly Jordán. Calculus of Finite Differences. 
  6. ^ Murray Spiegel. Schaum's Outline of Calculus of Finite Differences and Difference Equations. 
  7. ^ 刘治国. 一类指数型幂级数的求和. 抚州师专学报. 1994, (01): 第65–66页 [2017-07-23]. (原始内容存档于2019-05-08). 
  8. ^ 吴炜超. 数列不等式的定积分解法. 数学空间. 2011, (5): 第23–26页 [2014-04-10]. (原始内容存档于2015-09-24).