约瑟夫斯问题

阿橋問題(有时也称为約瑟夫斯置換),是一个出现在计算机科学数学中的问题。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环

人们站在一个等待被处决的圈子里。 计数从圆圈中的指定点开始,并沿指定方向围绕圆圈进行。 在跳过指定数量的人之后,處刑下一个人。 对剩下的人重复该过程,从下一个人开始,朝同一方向跳过相同数量的人,直到只剩下一个人,并被释放。

问题即,给定人数、起点、方向和要跳过的数字,选择初始圆圈中的位置以避免被处决。

历史编辑

这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意,他不知道是哪一个。[1]

解法编辑

比较简单的做法是用循环单链表模拟整个过程,时间复杂度是O(n*m)。如果只是想求得最后剩下的人,则可以用数学推导的方式得出公式。且先看看模拟过程的解法。

Python版本编辑

# -*- coding: utf-8 -*- 
class Node(object):
	def __init__(self, value):
		self.value = value 
		self.next = None

def create_linkList(n):
	head = Node(1)
	pre = head
	for i in range(2, n+1):
		newNode = Node(i)
		pre.next= newNode
		pre = newNode
	pre.next = head
	return head

n = 5 #总的个数
m = 2 #数的数目
if m == 1: #如果是1的话,特殊处理,直接输出
	print (n)  
else:
	head = create_linkList(n)
	pre = None
	cur = head
	while cur.next != cur: #终止条件是节点的下一个节点指向本身
		for i in range(m-1):
			pre =  cur
			cur = cur.next
		print (cur.value)
		pre.next = cur.next
		cur.next = None
		cur = pre.next
	print (cur.value)

C++版本编辑

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef struct _LinkNode {
	int value;
	struct _LinkNode* next;
} LinkNode, *LinkNodePtr;

LinkNodePtr createCycle(int total) {
	int index = 1;
	LinkNodePtr head = NULL, curr = NULL, prev = NULL;
	head = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode));
	head->value = index;
	prev = head;

	while (--total > 0) {
		curr = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode));
		curr->value = ++index;
		prev->next = curr;
		prev = curr;
	}
	curr->next = head;
	return head;
}

void run(int total, int tag) {
	LinkNodePtr node = createCycle(total);
	LinkNodePtr prev = NULL;
	int start = 1;
	int index = start;
	while (node && node->next) {
		if (index == tag) {
			printf("%d\n", node->value);
			if (tag == start) {
				prev = node->next;
				node->next = NULL;
				node = prev;
			} else {
				prev->next = node->next;
				node->next = NULL;
				node = prev->next;
			}
			index = start;
		} else {
			prev = node;
			node = node->next;
			index++;
		}
	}
}

int main() {
        if (argc < 3) return -1;
	run(atoi(argv[1]), atoi(argv[2]));
	return 0;
}

数学推导解法编辑

我们将明确解出 时的问题。对于 的情况,我们在下面给出一个一般的解法。

 为一开始有 个人时,生还者的位置(注意:最终的生还者只有一个)。走了一圈以后,所有偶数号码的人被杀。再走第二圈,则新的第二、第四、……个人被杀,等等;就像没有第一圈一样。如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为 的人一开始在第 个位置。因此位置为 的人开始时的位置为 。这便给出了以下的递推公式:

 

如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为 的人原先位置为 。这便给出了以下的递推公式:

 

如果我们把  的值列成表,我们可以看出一个规律:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
  1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1

从中可以看出, 是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从 开始。因此,如果我们选择m和l,使得  ,那么 。注意:2^m是不超过n的最大幂,l是留下的量。显然,表格中的值满足这个方程。我们用数学归纳法给出一个证明。

定理:如果  ,则 

证明: 应用数学归纳法 的情况显然成立。我们分别考虑 是偶数和 是奇数的情况。

如果 是偶数,则我们选择  ,使得 ,且 。注意 。我们有 ,其中第二个等式从归纳假设推出。

如果 是奇数,则我们选择  ,使得 ,且 。注意 。我们有 ,其中第二个等式从归纳假设推出。证毕。

答案的最漂亮的形式,与 的二进制表示有关:把 的第一位移动到最后,便得到 。如果 的二进制表示为 ,则 。这可以通过把 表示为 来证明。

一般情况下,考虑生还者的号码从  的变化, 我们可以得到以下的递推公式(编号从0开始):

  

这种方法的运行时间 

程序實現(C++)

#include <iostream>
using namespace std;
//編號從0開始,也就是說如果編號從1開始結果要加1
int josephus(int n, int k) { //非遞回版本
	int s = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		s = (s + k) % i;
	return s;
}
int josephus_recursion(int n, int k) { //遞回版本
	return n > 1 ? (josephus_recursion(n - 1, k) + k) % n : 0;
}
int main() {
	for (int i = 1; i <= 100; i++)
		cout << i << ' ' << josephus(i, 5) << ' ' << josephus_recursion(i, 5) << endl;
	return 0;
}

对于 ,可以将上述方法推广,将杀掉第k2k、……、 个人视为一个步骤,然后把号码改变,可得如下递推公式, 运行时间为 

 

程序實現(C++)

#include <cstdio>
using namespace std;
//編號從1開始,結果要加1
int josephus(int n, int k) { 
	if (k == 1) return n - 1;
	int ans = 0;
	for (int i = 2; i <= n; ) {
		if (ans + k >= i) {
			ans = (ans + k) % i;
			i++;
			continue;
		}
		int step = (i - 1 - ans - 1) / (k - 1); //向下取整
		if (i + step > n) {
			ans += (n - (i - 1)) * k;
			break;
		}
		i += step;
		ans += step * k;
	}
	return ans;
}

int main() {
	while (scanf("%d%d", &n, &k) == 2)
		printf("%d\n", josephus(n, k) % n + 1);
	return 0;
}

注释编辑

  1. ^ The War of the Jews 3.387-391

参考文献编辑

外部链接编辑