线性插值

线性插值是数学、计算机图形学等领域广泛使用的一种简单插值方法。

如何进行线性插值编辑

假设我们已知坐标 (x₀, y₀) 与 (x₁, y₁)，要得到 [x₀, x₁] 区间内某一位置 x 在直线上的值。根据图中所示，我们得到

{\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.\,\!

由于 x 值已知，所以可以从公式得到 y 的值

y=y_{0}+(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}=y_{0}+{\frac {(x-x_{0})y_{1}-(x-x_{0})y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}

已知 y 求 x 的过程与以上过程相同，只是 x 与 y 要进行交换。

线性插值近似法编辑

线性插值经常用于已知函数 f 在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误差定义为

R_{T}=f(x)-p(x)\,\!

其中 p 表示上面定义的线性插值多项式

p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).\,\!

根据罗尔定理，我们可以证明：如果 f 有二阶连续导数，那么误差范围是

|R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}|f''(x)|.\,\!

正如所看到的，函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。

应用编辑

线性插值经常用于补充表格中的间隔部分。假设一个表格列出了一个国家 1970年、1980年、1990年以及 2000年的人口，那么如果需要估计 1994年的人口的话，线性插值就是一种简便的方法。

两值之间的线性插值基本运算在计算机图形学中的应用非常普遍，以至于在计算机图形学领域的行话中人们将它称为 lerp。所有当今计算机图形处理器的硬件中都集成了线性插值运算，并且经常用来组成更为复杂的运算：例如，可以通过三步线性插值完成一次双线性插值运算。由于这种运算成本较低，所以对于没有足够数量条目的光滑函数来说，它是实现精确快速查找表的一种非常好的方法。