打开主菜单

魏尔施特拉斯逼近定理

定理

斯通-魏尔施特拉斯逼近定理(Stone–Weierstrass theorem)有两个:

证明编辑

  • 第一逼近定理可以从第二逼近定理直接推出。
  • 第二逼近定理的证明;

设f(t)为周期为 的连续函数,定义 为一三角级数。

    • 首先证明 ,为一个正交函数系:

 

 (因为 )。 故令 ,于是我们可以求出 。 将 代入   的定义式中,有:

 

下面对积分号中的和式S求和,令 ,那么就有: ,分成正负两部分求和,可知:

  带回原积分,有 ,这就是f(s)的泊松积分。其中 称为泊松核。故有:

 

我们要检验的的是  时的情况,可以证明:

 

由f(t)的一致连续性,可以证明,上式在 时,满足一致收敛的条件,故我们可以用 来一致逼近f(t)。

参阅编辑