维拉宿代数

维拉宿代數(Virasoro algebra)是單位圓微分算子所組成的李代數中心拓展英语central extension,在複數域上的無限維李代數。這與仿射Kac-Moody代數英语Affine Lie algebra關係密切(參看Sugawara構造)。Virasoro 代數的么正表示描繪兩維共形場論對稱性

定義编辑

维拉宿代數是一李代數,生成元是

  •  ,
  • c ,
  • 符合: 

推导编辑

维拉宿代數可以被认为是以下Witt 代数英语Witt algebra中心拓展英语central extension:

 ,

 ,

 .

对于一李代数 , 其在复数域 的 central extension  满足下列交换子:

 

 

 

其中 . 由此定义, 维拉宿代數的生成元满足以下交换子

 .

 可以由以下条件决定:

  • 交换子必须是反对易的, 所以 
  • 可以观察到, 如果定义以下生成元

 

 

它们满足

 

 

比较函数 的定义可以得知,  总是可以被设为0.

 
 
 

所以 如果 , 即唯一的非零 central extension为  .

  • 最后计算以下雅克比恒等式
 

 

可知 满足以下递推公式

 

 =...

 

 

 

其中归一化条件为 .综上所述, Witt algebra在复数域唯一非零的central extension, 即维拉宿代数的生成元满足以下交换子

 .

局部保角变换编辑

群表示论编辑

Verma模编辑

超对称维拉宿代数编辑

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參考编辑

  • V.G. Kac: "Infinite dimensional Lie algebras", Cambridge University Press
  • V.G. Kac / A.K. Raina : "Bombay Lectures on highest weight representations" , World Scientific, Singapore
  • Di Francesco / Mathieu / Senechal : "Conformal field theory", Springer Verlag
  • Wakimoto: "Infinite-dimensional Lie algebras" (日語書《無限次元環》的譯本), American Mathematical Society
  • Ralph Blumenhagen/ Erik Plauschinn : "Introduction to conformal field theory: with applications to string theory", Springer Lecture notes in physics 779, Page 15