罗德里格公式

关于几何学中關於向量的旋轉的演算法（Rodrigues' rotation formula），請見「罗德里格旋转公式」。

罗德里格公式（英語：Rodrigues' formula），舊稱為艾沃里–雅可比公式，是一個關於勒壤得多項式的公式，分別被 欧林 罗德里格 （1816），詹姆斯 艾沃里 （1824）及卡爾 雅可比 （1827）所獨立發現。在埃爾米特於1865年指出罗德里格是第一個發現的人後，Heine在1878年建議使用「罗德里格公式」此名稱。此名稱亦被用於其它正交多项式的相似公式中。Askey (2005)詳述了罗德里格公式的歷史。

敍述

令$\{P_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }$為一正交多項式序列，並滿足以下條件：

$$\int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n},$$

其中$w(x)$ 為權函數，$K_{n}$為與$n$有關之常數，$\delta _{m,n}$則是克羅內克δ函數。如果權函數$w(x)$滿足以下微分方程（又稱Pearson微分方程）：

$${\frac {w'(x)}{w(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},$$

其中$A(x)$ 為次數最高為一的多項式，$B(x)$為次數最高為二的多項式；且以下極限成立：

$$\lim _{x\to a}w(x)B(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}w(x)B(x)=0,$$

那麼我們可以證明$P_{n}(x)$滿足以下遞迴關係式

$$P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[B(x)^{n}w(x)\right],$$

其中$c_{n}$為常數。此關係式稱為「罗形公式」或是簡稱為「罗德里格公式」

罗形公式最常見的應用為勒壤得多項式、拉蓋爾多項式和埃爾米特多項式。

對勒壤得多項式$P_{n}$，罗德里格描述他的公式如下：

$$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].$$

拉蓋爾多項式通常被記為L₀, L₁, ⋯⋯，其罗形公式可被寫為：

$$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},$$

埃爾米特多項式的罗德里格公式則為：

$$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.$$

其他從史特姆-萊歐維爾方程所得之正交函數序列也有類似的公式，這些公式也被稱為罗德里格公式（或是罗形公式），特別是所得函數為多項式時。

參考資料

• Askey, Richard, The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments, Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L. (编), Mathematics and social utopias in France: Olinde Rodrigues and his times, History of mathematics 28, Providence, R.I.: American Mathematical Society: 105–118, 2005, ISBN 978-0-8218-3860-0 
• 艾沃里, 詹姆斯, On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (The Royal Society), 1824, 114: 85–150, JSTOR 107707, doi:10.1098/rstl.1824.0008  
• 雅可比, C. G. J., Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 − 2xz + z²)^1/2 entstehen., Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1827, 2: 223–226 [2022-12-29], ISSN 0075-4102, S2CID 120291793, doi:10.1515/crll.1827.2.223, （原始内容存档于2022-12-29） （German）  引文格式1维护：未识别语文类型 (link)
• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Olinde Rodrigues, MacTutor数学史档案 （英语） 
• 罗德里格, 欧林, De l'attraction des sphéroïdes, Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique, (Thesis for the Faculty of Science of the University of Paris), 1816, 3 (3): 361–385