# 群

## 正式定義

 结合律 對所有 ${\displaystyle g_{1},\,g_{2},\,g_{3}\in G}$  有 ${\displaystyle g_{1}\circ (g_{2}\circ g_{3})=(g_{1}\circ g_{2})\circ g_{3}}$ 左单位元與左逆元素 存在 ${\displaystyle e\in G}$  ，對所有 ${\displaystyle g\in G}$  有 ${\displaystyle e\circ g=g}$ 且存在 ${\displaystyle \gamma \in G}$  使得 ${\displaystyle \gamma \circ g=e}$

### 等價的定義

 右单位元與右逆元素 存在 ${\displaystyle e\in G}$  ，對所有 ${\displaystyle g\in G}$  有 ${\displaystyle g\circ e=g}$ 且存在 ${\displaystyle \gamma \in G}$  使得 ${\displaystyle g\circ \gamma =e}$

 单位元與逆元素 存在 ${\displaystyle e\in G}$  ，對所有 ${\displaystyle g\in G}$  有 ${\displaystyle e\circ g=g\circ e=g}$ 且存在 ${\displaystyle \gamma \in G}$  使得 ${\displaystyle \gamma \circ g=g\circ \gamma =e}$

${\displaystyle e_{l}\circ g=g}$  」(left-1)

「存在某 ${\displaystyle \gamma _{l}\in G}$  使 ${\displaystyle \gamma _{l}\circ g=e_{l}}$  」(left-2)

${\displaystyle \Gamma \circ (g\circ \gamma _{l})=e_{l}}$

{\displaystyle {\begin{aligned}e_{l}&=\Gamma \circ (g\circ \gamma _{l})\\&=\Gamma \circ [\,g\circ (e_{l}\circ \gamma _{l})\,]\\&=\Gamma \circ \{\,g\circ [\,(\gamma _{l}\circ g)\circ \gamma _{l}\,]\,\}\\&=\Gamma \circ \{\,g\circ [\,\gamma _{l}\circ (g\circ \gamma _{l})\,]\,\}\\&=\Gamma \circ [\,(g\circ \gamma _{l})\circ (g\circ \gamma _{l})\,]\\&=[\,\Gamma \circ (g\circ \gamma _{l})\,]\circ (g\circ \gamma _{l})\\&=e_{l}\circ (g\circ \gamma _{l})\\&=g\circ \gamma _{l}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}g\circ e_{l}&=g\circ (\gamma _{l}\circ g)\\&=(g\circ \gamma _{l})\circ g\\&=e_{l}\circ g=g\end{aligned}}}

${\displaystyle g\circ e_{r}=g}$  」(right-1)

「存在某 ${\displaystyle \gamma _{r}\in G}$  ，使 ${\displaystyle g\circ \gamma _{r}=e_{r}}$  」(right-2)

${\displaystyle (\gamma _{r}\circ g)\circ {\overline {\Gamma }}=e_{r}}$

{\displaystyle {\begin{aligned}e_{r}&=(\gamma _{r}\circ g)\circ {\overline {\Gamma }}\\&=[\,(\gamma _{r}\circ e_{r})\circ g\,]\circ {\overline {\Gamma }}\\&=\{\,[\,\gamma _{r}\circ (g\circ \gamma _{r})\,]\circ g\,\}\circ {\overline {\Gamma }}\\&=\{\,[\,(\gamma _{r}\circ g)\circ \gamma _{r}\,]\circ g\,\}\circ {\overline {\Gamma }}\\&=[\,(\gamma _{r}\circ g)\circ (\gamma _{r}\circ g)\,]\circ {\overline {\Gamma }}\\&=(\gamma _{r}\circ g)\circ [\,(\gamma _{r}\circ g)\circ {\overline {\Gamma }}\,]\\&=(\gamma _{r}\circ g)\circ e_{r}\\&=\gamma _{r}\circ g\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}e_{r}\circ g&=(g\circ \gamma _{r})\circ g\\&=g\circ (\gamma _{r}\circ g)\\&=g\circ e_{r}=g\end{aligned}}}

## 舉例

### 整數加法群

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...[20]

1. 對于任何兩個整數ab，它们的和a + b也是整數，所以整數加法的確是個二元运算
2. 對于任何整數a, bc，(a + b) + c = a +（b + c）。也就是說，先把a加到b，然后把它們的和加到c，所得到的結果与把a加到bc的和是相等的。
3. 如果a是任何整數，那么0 + a = a + 0 = a。所以 0 是整數加法的單位元，而且對所有a都存在另一個整數-a，使的a + (-a) = -a + a = 0。

### 實數乘法群

A1: 任何兩個 R# 的元素相乘產生 R# 的另一個元素。
A2: (a*b)*c = a*(b*c)。
A3: a*1 = a。因此 1 指示單位元。
A4: a -1*a = 1。因此 a -1 指示逆元。

### 二面體群

 id (保持原樣) r1 (向右旋轉90°) r2 (向右旋轉180°) r3（向右旋轉270°） fv (垂直翻轉) fh (水平翻轉) fd (對角翻轉) fc（反對角翻轉） 注意顏色不同，「操作結果」才不同。數字只是去方便理解「操作過程」，數字有沒有顛倒不影響「操作結果」。

${\displaystyle \circ }$  先操作
id r1 r2 r3 fv fh fd fc

r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id

${\displaystyle D_{4}=\left\{id,\,\,r_{1},\,r_{2},\,r_{3},\,f_{v},\,f_{h},\,f_{d},\,f_{c}\right\}}$

## 基本性質

### 單位元的唯一性

${\displaystyle g=e\circ g=g\circ e}$
${\displaystyle g=e^{\prime }\circ g=g\circ e^{\prime }}$

${\displaystyle e^{\prime }=e\circ e^{\prime }=e^{\prime }\circ e}$
${\displaystyle e=e^{\prime }\circ e=e\circ e^{\prime }}$

${\displaystyle e^{\prime }=e}$

${\displaystyle [\neg {\mathcal {B}}\wedge (e_{(G,\,\circ )}=\varnothing )]\vee [{\mathcal {B}}\wedge (\forall g\in G)(e_{(G,\,\circ )}\circ g=g\circ e_{(G,\,\circ )}=g)]}$

### 逆元的唯一性

${\displaystyle e_{G}=g\circ \gamma =\gamma \circ g}$
${\displaystyle e_{G}=g\circ \gamma ^{\prime }=\gamma ^{\prime }\circ g}$

{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\gamma }}&={\bar {\gamma }}\circ e_{G}\\&={\bar {\gamma }}\circ (g\circ \gamma )\\&=({\bar {\gamma }}\circ g)\circ \gamma \\&=e_{G}\circ \gamma \\&=\gamma \end{aligned}}}

${\displaystyle [\neg {\mathcal {D}}\wedge ({g^{-1}}_{(G,\,\circ )}=\varnothing )]\vee [{\mathcal {D}}\wedge ({g^{-1}}_{(G,\,\circ )}\circ g={g^{-1}}_{(G,\,\circ )}\circ g=e_{G})]}$

### 群的冪

${\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}$  為一群，可以仿造整数指數，對任意 ${\displaystyle g\in G}$  作如下關於符號簡寫的递归定义

${\displaystyle g^{0}:=e}$ 單位元視為 ${\displaystyle 0}$  次方）
${\displaystyle g^{1}:=g}$

## 基本概念

a(g·k) = a(ga(k)

### 循環群

${\displaystyle (G,*)}$  為一個群，若 ${\displaystyle G}$  裡面存在元素 ${\displaystyle g}$ ，使

${\displaystyle G=\left\{a{\big |}(\exists k\in \mathbb {Z} )(a=g^{k})\right\}}$

### 陪集

gH = {gh, ${\displaystyle h\in H}$ }和Hg = {hg, ${\displaystyle h\in H}$ }。[25]

### 商群

G / N = {gN, ${\displaystyle g\in G}$ }，“${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ [27]

· R U
R R U
U U R

r 4 = f 2 = (rf )2 = 1,[28]

## 應用

### 數

#### 有理數

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

#### 非零整數模以素數

16 ≡ 1（mod 5）。

p的首要作用是確保了兩個都不被p整除的整數的乘積也不被p整除，因此指示的同馀類的集合在乘法下閉合。[o]單位元如平常的乘法群一樣是1，而結合律可以從整數的相應性質得出。最后，逆元公理要求給定不整除于p的整數a，存在一個整數b使得

a · b ≡ 1（mod p），就是說p整除a·b − 1的差。

### 循環群

..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3, ...,

### 對稱群

 富勒烯展现了二十面體對稱。 氨NH3。它的對稱群是6階的，用120°旋轉和反射生成的。 立方烷C8H8刻畫了八面體對稱。 六水合銅（II）配合物[Cu(OH2)6]2+。相較于完美的對稱形狀，分子垂直膨脹大約22%（姜-泰勒效应）。 （2,3,7）三角群是雙曲群，它作用在這個雙曲面的鑲嵌上。

ρ: GGL(n, R)。

### 伽羅瓦群

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

## 有限群

### 有限单群分类

p2阶群也被证明是阿贝尔群。但这一命题并不能推广到p3阶群，如上面的非阿贝尔群——8阶二面体群D4所示，其中8 = 23[59]可以利用计算机代数系统来给较小的群列表，但没有对一切有限群的分类。[q] 一个中间步骤是有限单群分类。[r]如果一个非平凡群仅有的正规子群是平凡群和它自身，那么这个群叫做一个单群或简单群。[s]合成列说明单群可以作为建构有限群的“砖块”。[60] 有限单群分类是当代群论的一个主要成就。1998年的菲尔兹奖得主理查德·博赫兹成功地证明了怪兽月光理论。该猜想指出了有限单群中分类中的最大的散在群——“怪兽群”与一种来自经典复分析弦理论（一种被认为统一了对许多物理学现象的描述的理论）的对象模函数之间的惊人而深刻的联系。[61]

## 帶有額外結構的群

### 拓撲群

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(x+c)\,dx}$

det (A) ≠ 0，

## 推廣

 完全性 結合律 單位元 類似群的結構 是 是 是 是 是 是 是 否 是 是 否 否 是 否 是 是 是 否 否 是 是 否 否 否 否 是 是 是 否 是 是 否

## 注釋

^  a:  《數學評論》列出了3,224篇2005年寫的關于群論和它的應用的研究論文。
^  b:  閉合公理已經由·是二元運算的條件所蘊含。因此有些作者省略這個公理。Lang 2002
^  c:  比如參見Lang (2002, 2005)和Herstein (1996, 1975)的書。
^  d:  但是一個群不由它的子群的格所決定。參見Suzuki 1951
^  e:  群運算的這么規范的擴展是泛性質的實例。
^  f:  例如，依據拉格朗日定理，如果G是有限的，則任何子群和任何商群的大小整除G的大小。
^  g:  詞同態演化自希臘語ὁμός—相同和μορφή—結構。
^  h:  循環群的加法符號是t·a, tZ
^  i:  例子參見塞弗特－范坎彭定理
^  j:  一個例子是群的群上同調，它等于它的分類空間單同調
^  k:  有乘法逆元的元素叫做可逆元，參見Lang 2002, §II.1, p. 84
^  l:  通過增加分數的從整數到有理數的轉變推廣為分式域
^  m:  用任何F替代Q同樣是真的。參見Lang 2005, §III.1, p. 86
^  n:  例如，域的乘法群的有限子群必然是循環群。參見Lang 2002, Theorem IV.1.9單純代數概念是這個原理的另一個實例。
^  o:  陳述的性質是素數的一個可能定義。參見素元
^  p:  例如，迪菲-赫爾曼密鑰交換協議使用離散對數
^  q:  阶不超过2000的群是已知的。这些群在同构意义下约有490亿个。参见Besche, Eick & O'Brien 2001.
^  r:  在单群和一般群分类之间的缺口在于扩张问题，一个很难一般性求解的问题。参见Aschbacher 2004, p. 737.
^  s:  等价地说，一个非平凡群是单群当且仅当它仅有的商群是平凡群和自身。参见Michler 2006, Carter 1989.
^  t:  更嚴格的說，所有群都是某個的對稱群，參見Frucht 1939
^  u:  更精確地說，monodromy作用在要考慮的微分方程的解的向量空間上。參見Kuga 1993, pp. 105–113
^  v:  例如參見史瓦西度规，這裡的對稱極大的減小了物理系統的復雜性。
^  w:  例如，這是有限簡單群的分類的關鍵。參見Aschbacher 2004
^  x:  例如，群作用在單模上的效果的Schur引理。更加復雜的例子是絕對伽羅瓦群作用在平展上同调上。
^  y:  單射和滿射分別對應於單同態滿同態。在傳給對偶范疇的時候它們是可互換的。

### 引文

1. ^ Herstein 1975, §2, p. 26
2. ^ Hall 1967, §1.1, p. 1:“群的想法遍布在包括純數學和應用數學二者的整個數學中。”
3. ^ Wussing 2007
4. ^ Kleiner 1986
5. ^ Smith 1906
6. ^ Galois 1908
7. ^ Kleiner 1986, p. 202
8. ^ Cayley 1889
9. ^ Wussing 2007, §III.2
10. ^ Lie 1973
11. ^ Kleiner 1986, p. 204
12. ^ Wussing 2007, §I.3.4
13. ^ Jordan 1870
14. ^ von Dyck 1882
15. ^ Curtis 2003
16. ^ Mackey 1976
17. ^ Borel 2001
18. ^ Aschbacher 2004
19. ^ Herstein 1975, §2.1, p. 27
20. ^ Lang 2005, App. 2, p. 360
21. Mac Lane 1998
22. ^ Lang 2005, §II.3, p. 34
23. ^ Lang 2005, §II.1, p. 19
24. ^ Ledermann 1973, §II.12, p. 39
25. ^ Lang 2005, §II.4, p. 41
26. ^ Lang 2002, §I.2, p. 12
27. ^ Lang 2005, §II.4, p. 45
28. ^ Lang 2002, §I.2, p. 9
29. ^ 韩士安,林磊. 近世代数（第二版）. 北京: 科学出版社. 2009: 8. ISBN 9787030250612.
30. ^ [美] 约翰·德比希尔. 代数的历史：人类对未知量的不舍追踪（修订版）. 人民邮电出版社. ISBN 9787115225375 （简体中文）. 关于群结构的第一个伟大定理是拉格朗日定理：子群的阶整除这个群的阶。整除的商被称为这个子群的指数。根据拉格朗日定理，分数指数不会出现。我们可以在 6 阶群中找到阶为 2 或 3（指数分别为 3 或 2）的子群，但是我们永远不可能在其中找到阶为 4 或 5 的子群，因为 6 不能被 4 或 5 整除。
31. ^ Hatcher 2002, Chapter I, p. 30
32. ^ Coornaert, Delzant & Papadopoulos 1990
33. ^ Neukirch 1999，特別是§§I.12和I.13
34. ^ Seress 1997
35. ^ Lang 2005, Chapter VII
36. ^ Rosen 2000, p. 54 (Theorem 2.1)
37. ^ Lang 2005, §VIII.1, p. 292
38. ^ Lang 2005, §II.1, p. 22
39. ^ Lang 2005, §II.2, p. 26
40. ^ Lang 2005, §II.1, p. 22 (example 11)
41. ^ Lang 2002, §I.5, p. 26, 29
42. ^ Weyl 1952
43. ^ Conway, Delgado Friedrichs & Huson et al. 2001.另见Bishop 1993
44. ^ Bersuker, Isaac, The Jahn-Teller Effect, Cambridge University Press: 2, 2006, ISBN 0521822122
45. ^ Jahn & Teller 1937
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48. ^ Mumford, Fogarty & Kirwan 1994
49. ^ Lay 2003
50. ^ Kuipers 1999
51. Fulton & Harris 1991
52. ^ Serre 1977
53. ^ Rudin 1990
54. ^ Robinson 1996, p. viii
55. ^ Artin 1998
56. ^ Lang 2002, Chapter VI (see in particular p. 273 for concrete examples)
57. ^ Lang 2002, p. 292 (Theorem VI.7.2)
58. ^ Kurzweil & Stellmacher 2004
59. ^ Artin 1991, Theorem 6.1.14.另见Lang 2002, p. 77，其中包含类似结果。
60. ^ Lang 2002, §I. 3, p. 22
61. ^ Ronan 2007
62. ^ Husain 1966
63. ^ Neukirch 1999
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## 引用

### 一般引用

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• Herstein, Israel Nathan, Topics in algebra 2nd, Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, 1975, MR0356988.
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• Ledermann, Walter, Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, 1953, MR0054593.
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• 《代數學引論》第二版ISBN 7-04-008893-2聶靈沼、丁石孫著，高等教育出版社出版