在数学中,给定两个群
和
,从
到
的群同态(Group homomorphism)是函数
使得对于所有
中的
和
下述等式成立
从
(左)到
(右)的群同态(
)的像。在
内的椭圆形是
的像。
是
的核而
是
的陪集。

在这里,等号左侧的群运算
,是
中的运算;而右侧的运算
是
中的运算。
从这个性质,可推导出
将
的单位元
映射到
的單位元
,并且它还在
的意义上映射逆元到逆元。因此我们可以说
“兼容于群结构”。
过去同态
常用
或
来表示,它容易混淆于索引或一般下标。更新近的倾向是把群同态写在它们的自变量的右侧,省略括号,如此
簡化成了
。这种方法因为其更适应自动机从左至右读字的习惯从而在某些广泛应用自动机理论的群论中颇为流行。
在考虑有额外的结构的群的数学领域中,同态不仅要满足上述的群结构,还要满足额外的结构。比如拓扑群的同态经常要求是连续的。
- 考虑带有加法的循环群 和整数集 的群。映射 ,有 为 模以3,是群同态。它是滿射并且它的核由被三整除的所有整数构成。
- 指数映射产生从带有加法的实数集 的群到带有乘法的非零实数集 的群的群同態。核是 而像由正实数组成。
- 指数映射还产生从带有加法的复数集 的群到带有乘法的非零复数集 的群的同态。这个映射是满射并且有核 ,这可以从欧拉公式得出。
- 给定任何两个群 和 ,映射 ,把所有 的元素对应到 的单位元,是同态;它的核是集合 。
- 给定任何群 ,恒等映射 定义为对于 中所有的 , 。恒等映射是群同态。
- Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 3rd, Springer-Verlag, 2002 .