联络 (主丛)

数学中,丛上一个联络是定义了一种平行移动概念的装置;即将邻近点上的纤维“连接”或等价的一种方法。光滑流形M主G-丛P上一个G-联络是一类特殊的联络,它与群G的作用相容。

主联络可以视为是埃雷斯曼联络概念的一类特例,经常称为主埃雷斯曼联络。它给出了通过配丛构造相配于P的任何纤维丛上一个(埃雷斯曼)联络。特别地,在任何配向量丛上主联络诱导了一个共变导数,一个能对这个丛的光滑截面关于沿着底流形上切方向微分的算子。主联络将光滑流形标架丛上的线性联络推广到任何主丛上。

正式定义编辑

π:PM光滑流形M上一个光滑G-丛。则P上一个G-联络P上一个取值于G的李代数 的微分1-形式,并满足G-等变以及产生P上的基本向量场的李代数生成集。

换句话说,它是 中一个元素ω使得

  1.  这里Rg表示用g右乘;
  2. 如果 XξP上的向量场关联于 ξ利用GP作用的微分,则ω(Xξ) = ξ(在 P上等同)。

有时术语“主G-联络”表示二元组(P,ω),而ω自己称为这个主联络的联络形式联络1-形式

与埃雷斯曼联络的关系编辑

P上一个主G-联络以如下方式确定了P上一个埃雷斯曼联络。首先注意到基本向量场生成了GP上的作用给出了从P铅直丛V(满足Vp=Tp(Pπ(p))到 的一个丛同构。从而ω定义了惟一的丛映射v:TPV,在V上是恒同。这个投影v由它的惟一确定,它是TP的一个光滑子丛H(称为水平丛)使得TP=VH。这是一个埃雷斯曼联络。

反之,P上一个埃雷斯曼联络HTP(或v:TPV)定义了一个主G-联络ω当且仅当它在 的意义下G-等变。

局部平凡化中的形式编辑

主丛P的一个局部平凡化P在一个M的开子集U上的一个截面s给出。则主联络的拉回s*ω是一个U上一个取值于 的1-形式。如果截面s被由(sgx) = s(x)g(x)定义的一个新截面sg代替,这里g:MG是一个光滑映射,则(sg)*ω = s*ω+g-1dg。主联络惟一地由这样一族 -值1-形式确定,这些1-形式也称为联络形式联络1-形式,特别是在比较旧或以物理为中心的文献中。

主联络丛编辑

G通过右平移作用在切丛TP商空间TP/G也是一个流形,继承了TM上一个纤维丛结构,可记作:TP/GTM。设ρ:TP/GM是到M的投影映射。丛TP/G的纤维在投影ρ下携带一个加法结构。

TP/G称为主联络丛Kobayashi 1957)。dπ:TP/GTM A的一个截面Γ使得Γ : TMTP/GM上向量丛的一个线性同态,可与P中一个主联络等同。反之,如上定义的一个主联络给出了这样TP/G的一个截面Γ。

最后,设Γ是这样意义的一个主联络。令q:TPTP/G是其商映射。联络的水平分布是丛

 

仿射性质编辑

如果ωω' 是主丛P上两个主联络,则差ω' - ωP上一个 -值1-形式,它不仅G-等变,也是水平的。这里所谓水平是指在P的任何铅直丛V上为零。从而它是基本的,因此能被M上取值于伴随丛

 

一个1-形式确定。反之,任何这样的形式定义了(通过拉回)P上一个G-等变水平1-形式。所以主G-联络的空间是关于这个1-形式空间的一个仿射空间

诱导的共变外导数编辑

G的任何线性表示W,有一个M上的配向量丛 ,一个主联络诱导了这个向量丛上一个共变导数。这个共变导数可利用 M上截面的空间同构于PG-等变W-值函数的事实来定义。更一般地,取值 k-形式之空间等同于PG-等变且水平的W-值k-形式之空间。如果α是这样一个k-形式,则其外导数dα,尽管G-等变,但不再水平。不过,复合dα+ωΛα却是。这样定义了一个外共变导数dωM -值k-形式到M -值(k+1)-形式。特别地,当k=0,我们得到了 上一个共变导数。

曲率形式编辑

G-联络ω曲率形式 -值2-形式Ω定义为

 

它是G-等变以及水平的,从而对应于一个M上取值为 的2-形式。曲率与这个量相等也称为“第二结构方程”。

标架丛上的联络及其挠率编辑

如果主丛P标架丛,或更一般地如果他有一个焊接形式英语solder formsolder form),则此联络是仿射联络的一个例子,曲率不仅不变,由焊接形式θ的加法结构,也要考虑到它是P上一个Rn-值1-形式。特别地,P上的挠率形式,是一个 Rn-值2-形式Θ定义为

 

Θ是G-等变及水平的,从而它下降为M上一个切值2-形式,称为挠率。这个等式也称为“第一结构方程”。

参考文献编辑