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自旋-軌道作用

量子力學裏,一個粒子因為自旋軌道運動而產生的作用,稱為自旋-軌道作用英语:Spin–orbit interaction),也稱作自旋-軌道效應自旋-軌道耦合。最著名的例子是電子能級的位移。電子移動經過原子核電場時,會產生電磁作用.電子的自旋與這電磁作用的耦合,形成了自旋-軌道作用。譜線分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移,證實了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是原子核殼層模型能級的位移。

半導體或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋-軌道效應。自旋電子學專門研究與應用這方面的問題。

目录

電子的自旋-軌道作用编辑

在這篇文章裏,會以相當簡單與公式化的方式,詳細地講解一個束縛於原子內的電子的自旋-軌道作用理論。這會用到電磁學非相對論性量子力學一階微擾理論。這自旋-軌道作用理論給出的答案,雖然與實驗結果並不完全相同,但相當的符合。更嚴謹的導引應該從狄拉克方程式開始,也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案,則必須用量子電動力學來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。

磁場编辑

雖然在原子核的靜止參考系 (rest frame) ,並沒有磁場;在電子的靜止參考系,有磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系為慣性參考系,則根據狹義相對論[1],磁場  

 (1)

其中,  是電子的速度,  是電子運動經過的電場, 光速

以質子的位置為原點,則從質子產生的電場是

 

其中,  是質子數量(原子序數), 單位電荷量 真空電容率  是徑向單位向量,  是徑向距離,徑向向量   是電子的位置。

電子的動量  

 

其中,  是電子的質量。

所以,作用於電子的磁場是

 (2)

其中, 角動量 

  是一個正值因子乘以   ,也就是說,磁場與電子的軌道角動量平行。

磁矩编辑

電子的磁矩  

 

其中, 迴轉磁比率 (gyromagnetic ratio) ,  是自旋, 電子自旋g因數 電荷量

電子的g-因數(g-factor)是   ,電荷量是   。所以,

 (3)

電子的磁矩與自旋反平行。

哈密頓量微擾項目编辑

自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目是

 

代入   的公式 (3) 和   的公式(2),經過一番運算,可以得到

 

一直到現在,都還沒有考慮到電子靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應稱為托馬斯進動 (Thomas precession) 。因為這效應,必須添加因子   在公式裏。所以,

 

能級位移编辑

在準備好了自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目以後,現在可以估算這項目會造成的能量位移。特別地,想要找到  本徵函數形成的基底,使   能夠對角化。為了找到這基底,先定義總角動量算符  

 

總角動量算符與自己的內積是

 

所以,

 

請注意    互相不對易   互相不對易。讀者可以很容易地證明這兩個事實。由於這兩個事實,   的共同本徵函數不能被當做零微擾波函數,用來計算一階能量位移     的共同本徵函數也不能被當做零微擾波函數,用來計算一階能量位移   。可是,      ,這四個算符都互相對易。     ,這四個算符也都互相對易。所以,     ,這四個算符的共同本徵函數   可以被當做零微擾波函數,用來計算一階能量位移   ;其中,  主量子數  是總角量子數, 角量子數  是自旋量子數。這一組本徵函數所形成的基底,就是想要尋找的基底。這共同本徵函數    的期望值是

 

其中,電子的自旋  

經過一番繁瑣的運算[2],可以得到   的期望值

 

其中, 波耳半徑

將這兩個期望值的公式代入,能級位移是

 

經過一番運算,可以得到

 

其中,  是主量子數為   的零微擾能級。

特別注意,當   時,這方程式會遇到除以零的不可定義運算;雖然分子項目   也等於零。零除以零,仍舊無法計算這方程式的值。很幸運地,在精細結構能量微擾的計算裏,這不可定義問題自動地會消失。事實上,當   時,電子的軌道運動是球對稱的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來,  球諧函數

 

由於完全跟角度無關,角動量也是零,電子並不會感覺到任何磁場,所以,電子的   軌道沒有自旋-軌道作用。

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ French, A. P. Special Relativity (The M.I.T Introductory Physics Series). W. W. Norton & Company, Inc. 1968: pp. 237–250. ISBN 0748764224. 
  2. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 266–276. ISBN 0-13-111892-7. 
  • E. U. Condon and G. H. Shortley. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press. 1935. ISBN 0-521-09209-4. 

外部連結编辑