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线性代数中,舒尔分解舒尔上三角化是一种矩阵分解方法,得名于德国数学家伊沙海·舒爾英语Issai Schur

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定理的陈述编辑

舒尔分解定理表明,如果An阶的复方阵,则存在n么正矩阵Q,n阶上三角矩阵U,使得:[1][2][3]

 

即任何一个n阶复方阵A酉相似于一个n阶上三角矩阵U。因为A,U相似,所以两者有相同的特征值,且相同特征值的代数重数也相同。又因U是上三角矩阵,所以U的对角元素实际上是A的所有特征值。

该定理表明,存在Cn的一个线性子空间序列{0} = V0V1 ⊂ ... ⊂ Vn = Cn,使得其中的每一个都是A(看成线性变换)的不变子空间。且存在Cn(指定标准内积)的一组单位酉正交基,使得前i个基向量张成上述序列中第i个子空间。[1]

定理的证明编辑

以线性变换思想编辑

把矩阵A看成是有限维酉空间Cn上的线性变换,它有特征值λ,所对应的特征子空间Vλ,令Vλ 为它的正交补空间。分别取两个空间的一组单位正交基(Z1,Z2),它们构成原空间的一组单位正交基,则线性变换A在这组基下的矩阵表出为:


 

而A22又可以看成是Vλ上的线性变换,又可以重复上述过程。(本质上,A22是A在商空间Cn\Vλ上引入的线性变换。)所以最终可以找到Cn的一组基,使得A在这组基下的矩阵为上三角矩阵。[1][2]

以矩阵思想编辑

上述证明过程也可以用矩阵的语言复述。对n阶矩阵采用数学归纳法:

  1. k=1,显然命题成立。
  2. 若任何一个n-1阶矩阵酉正交相似于一个上三角矩阵。则对一个n阶矩阵,它有特征值λ1,对应特征向量β。将β扩充为Cn的一组单位正交基,并排列成矩阵V1,则有:
 
根据归纳假设,存在n-1阶酉矩阵V2和上三角矩阵T,使得:
 
所以有:
 
即:
 
 ,显然它是酉矩阵。由归纳假设,原命题成立。[4][3]

计算编辑

给定矩阵的舒尔分解可以用QR计算法求出。换言之,为求解矩阵的舒尔分解,并没有必要求解其特征多项式的根。另一方面,通过求解一个多项式的伴随矩阵的舒尔分解,可以计算出它的所有根。类似地,通过舒尔分解,也可以计算给定矩阵的特征值。[5]

广义舒尔分解编辑

给定矩阵A和B,则存在酉矩阵Q、Z,上三角矩阵S、T,使得  同时成立。这被称为广义舒尔分解,有时也被称为QZ分解。[2]

广义特征值问题 的解是S、T对应的对角元的比值,即 [2]

参考文献编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Horn, R.A. and Johnson, C.R. Matrix Analysis. Cambridge University Press. 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Section 2.3 and further at p. 79)
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Golub, G.H. and Van Loan, C.F. Matrix Computations 3rd. Johns Hopkins University Press. 1996. ISBN 0-8018-5414-8. (Section 7.7 at p. 313)
  3. ^ 3.0 3.1 《矩阵论》:第四章.第五节.Schur定理与正规矩阵
  4. ^ 丘维声. 《高等代数学习指导·上册》. 清华大学出版社. 2005: p352. ISBN 978-7-302-10975-4. 
  5. ^ Anderson, E.; Bai, Z.; Bischof, C.; Blackford, S.; Demmel, J.; Dongarra, J.; Du Croz, J.; Greenbaum, A.; Hammarling, S.; McKenney, A.; Sorensen, D. LAPACK Users' Guide Third. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 1999. ISBN 0-89871-447-8.