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艾里函数(Ai(x)),英国英格蘭天文学家數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函数,他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)(也称为艾里函数),是以下微分方程的解:

这个方程称为艾里方程斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程,它有一个转折点,在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长(或衰减)。

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定义编辑

 
Ai(x)(红色)和Bi(x)(蓝色)的图像

对于实数x,艾里函数由以下的积分定义:

 

虽然这个函数不是绝对可积的(当t趋于+∞时积分表达式不趋于零),这个广义积分还是收敛的,因为它快速振动的正数和负数部分倾向于互相抵消(这可以用分部积分法来检验)。

把: 求导,我们可以发现它满足以下的微分方程:

 

这个方程有两个线性独立的解。除了: 以外,另外一个解称为第二艾里函数,记为 。它定义为当x趋于−∞时,振幅与 相等,但相位与 相差  的函数:

 

性质编辑

 时,: 和: 以及它们的导数的值为:
 

在这里,: 表示伽玛函数。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式 

x是正数时,Ai(x)是正的凸函数,指数衰减为零,Bi(x)也是正的凸函数,但呈指数增长。当x是负数时,Ai(x)和Bi(x)在零附近振动,其频率逐渐上升,振幅逐渐下降。这可以由以下艾里函数的渐近公式推出。

渐近公式编辑

x趋于+∞时,艾里函数的渐近表现为:

 

而对于负数方向的极限,则有:

 

这些极限的渐近展开式也是可以得到的[1]

自变量是复数时的情形编辑

我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面:

 

其中积分路径 从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始,在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外,我们也可以用微分方程 来把Ai(x)和Bi(x)延拓为复平面上的整函数

以上Ai(x)的渐近公式在复平面上也是正确的,如果取主值为x2/3,且x不在负的实数轴上。Bi(x)的公式也是正确的,只要x位于扇形{xC : |arg x| < (1/3)π−δ}内,对于某个正数δ。最后,Ai(−x)和Bi(−x)是正确的,如果x位于扇形{xC : |arg x| < (2/3)π−δ}内。

从艾里函数的渐近表现可以推出,Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点,而Bi(x)在扇形{zC : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。

图像编辑

       
       
       


       
       
       

与其它特殊函数的关系编辑

当自变量是正数时,艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系:

 

在这里,I±1/3K1/3是方程 的解。

当自变量是负数时,艾里函数与贝塞尔函数之间有以下的关系:

 

在这里,J±1/3是方程 的解。

Scorer函数 的解,它也可以用艾里函数来表示:

 

参考文献编辑

  1. ^ 参看Abramowitz and Stegun, 1954 和 Olver, 1974。
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (See §10.4). National Bureau of Standards.
  • Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379–402.
  • Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
  • Harold Richard Suiter. Star Testing Astronomical Telescopes: A Manual for Optical Evaluation and Adjustment. Richmond, VA: Willmann-Bell. 1994. ISBN 978-0-943396-44-6. 含有许多图像

外部链接编辑