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莱维过程(Lévy process)源于法国数学家保羅·皮埃爾·萊維,是连续时间上的一种拥有独立稳定增量的左极限右连续(Càdlàg)的随机过程。著名的例子有维纳过程泊松过程

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定义编辑

一个随机过程 是一个莱维过程如果符合以下条件:

  1.   几乎确定
  2. 独立增量:对任何 ,  相互独立
  3. 稳定增量:对任何 ,   有相同分布
  4.   is 几乎确定右连左极.

性质编辑

独立增量编辑

Xt是一个连续时间上的随机过程。也就是说,对于任何固定的t ≥ 0,Xt是一个随机变量。过程的增量为差值XsXt(任意的时间t < s)。 独立增量意味着对于任何时间s > t > u > vXsXtXuXv相独立。

稳定增量编辑

如果增量XsXt的分布只依赖于时间间隔s − t,则称增量是稳定的。

例如,对于维纳过程,增量Xs − Xt服从均值为0,方差为s − t正态分布

对于泊松过程,增量Xs − Xt服从指数为s − t泊松分布

可分性编辑

莱维过程与无限可分分布有关:

  • 增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的nXt的分布可以表示为n个与Xt/n同分布的随机变量的和的分布。
  • 反之,对于每个无穷可分的分布,可以构造出一个与之对应的Lévy过程。

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当莱维过程的n阶矩 存在有限时, 它满足二项式等式:

 

例子编辑

维纳过程编辑

定义
X维纳过程(或者标准布朗运动) 当且仅当

  1. 对任何 , 随机变量 服从正态分布 ,
  2. 它的轨迹是几乎处处连续的;即, 对于几乎所有的事件 ,关于t的函数 是连续的。

性质

 

其他性质可参考词条布朗运动

复合泊松过程编辑

定义
X为一个实参数为 ,测度为  复合泊松过程英语Compound Poisson process当且仅当它的傅立叶变换为:

 .

性质

  • 参数为  ,测度为Dirac测度英语Dirac measure 的复合泊松过程为泊松过程.
  • N为参数为 的泊松过程, 为一个随机游走 的分布为 ),那么 为一个复合泊松过程。

参考来源编辑

翻译自英语、法语版维基词条。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999