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薛丁格繪景

埃爾溫·薛丁格

薛丁格繪景(Schrödinger picture)是量子力學的一種表述,為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏,量子系統的態向量隨著時間流易而演化,而像位置自旋一類的對應於可觀察量算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏,對應於可觀察量算符會隨著時間流易而演化,而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏,態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸,所獲得的結果完全一致。這是必然的,因為它們都是在表達同樣的物理現象。[1]:80-84[2][3]

在薛丁格繪景裏,負責時間演化的算符是一種么正算符,稱為時間演化算符。假設時間從流易到,而經過這段時間間隔,態向量演化為態向量,這時間演化過程以方程式表示為

其中,是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量不含時,則時間演化算符為

其中,約化普朗克常數指數函數必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏,時常會使用薛丁格繪景。[4]:第2章第25頁

目录

時間演化算符编辑

定義编辑

時間演化算符 定義為

 

其中,右矢 表示時間為 的態向量, 是時間演化算符,從時間 演化到時間 

這方程式可以做這樣解釋:將時間演化算符 作用於時間是 的態向量 ,則會得到時間是 的態向量 

類似地,也可以用左矢 來定義:

 

其中,算符 是算符 厄米共軛

性質编辑

幺正性编辑

由於態向量必須滿足歸一條件,態向量的範數不能隨時間而變:[1]:66-69

 

可是,

 

所以,

  ;

其中, 單位算符

單位性编辑

時間演化算符 必須是單位算符 ,因為,[1]:66-69

 

閉包性编辑

從初始時間 到最後時間 的時間演化算符,可以視為從中途時間 到最後時間 的時間演化算符,乘以從初始時間 到中途時間 的時間演化算符[1]:66-69

 

根據時間演化算符的定義,

 
 

所以,

 

可是,再根據定義,

 

所以,時間演化算符必須滿足閉包性:

 

時間演化算符的微分方程式编辑

為了方便起見,設定 ,初始時間 永遠是 ,則可忽略時間演化算符的 參數,改寫為 含時薛丁格方程式[1]:68-73

 

其中, 是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式,可以得到

 

由於 可以是任意恆定態向量(處於 的態向量),時間演化算符必須遵守方程式

 

假若哈密頓量不含時,則這方程式的解答為

 

注意到在時間 ,時間演化算符必須約化為單位算符 。由於 是算符,指數函數 必須通過其泰勒級數計算:

 

按照時間演化算符的定義,在時間 ,態向量為

 

注意到 可以是任意態向量。假設初始態向量 是哈密頓量的本徵態,而本徵值 ,則在時間 ,態向量為

 

這樣,可以看到哈密頓量的本徵態是定態,隨著時間的流易,只有相位因子在進行演化。

假設,哈密頓量與時間有關,但在不同時間的哈密頓量相互對易,則時間演化算符可以寫為

 

假設,哈密頓量與時間有關,而在不同時間的哈密頓量不相互對易,則時間演化算符可以寫為

 

其中, 時間排序算符

必須用戴森級數英语Dyson series來表示,

 

各種繪景比較摘要编辑

為了便利分析,位於下標的符號   分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化:[1]:86-89, 337-339

演化 海森堡繪景 交互作用繪景 薛丁格繪景
右矢 常定    
可觀察量     常定
密度算符 常定    

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  2. ^ Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3. 
  3. ^ Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582. 
  4. ^ Robert D. Klauber. Student Friendly Quantum Field Theory: Basic Principles and Quantum Electrodynamics (PDF). Sandtrove Press. 2013. ISBN 978-0-9845139-3-2.