虛數單位

負數的平方根,用來定義複數
(重定向自虚数单位

數學物理工程學裏,虛數單位標記為,在电机工程和相关领域中则标记为,这是为了避免与电流(记为)混淆。虛數單位的發明使實數系統能夠延伸至复数系統。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數,那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。

虛數單位複平面的位置。橫軸是實數,豎軸是虛數。
各种各样的
基本

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延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

定義编辑

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

虛數單位 定義為二次方程式 的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為:

 

由於實數的平方絕不可能是負數,我們假設有這麼一個數目解答,給它設定一個符號 。很重要的一點是, 是一個良定義的數學構造。

另外,虛數單位同樣可以表示為:

 

然而 往往被誤認為是錯的,他們的證明的方法是:

因為 ,但是-1不等於1。
但請注意: 成立的條件有 , 不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時,我們只需要假設 是一個未知數,然後依照 的定義,替代任何 的出現為-1。 的更高整數冪數也可以替代為  ,或 ,根據下述方程式:

 
 
 

一般地,有以下的公式:

 
 
 
 
 

其中 表示被4除的余数

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方程 有两个不同的解,它们都是有效的,且互为共轭虚数倒數。更加确切地,一旦固定了方程的一个解 ,那么 (不等于 )也是一个解,由于这个方程是 的唯一的定义,因此这个定义表面上有歧义。然而,只要把其中一个解选定,并固定为 ,那么实际上是没有歧义的。这是因为,虽然  在数量上不是相等的(它们是一对共轭虚数),但是  之间没有质量上的区别(-1和+1就不是这样的)。在任何的等式中同時將所有i替換為-i,該等式仍成立。

 
 

正当的使用编辑

虚数单位有时记为 。但是,使用这种记法时需要非常谨慎,这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如,公式 仅对于非负的实数  才成立。

假若這個關係在虚数仍成立,則會出現以下情況:

 (不正确)
 (不正确)
 (不正确)

i的运算编辑

 
虛數單位 的平方根在複平面的位置。

许多实数的运算都可以推广到 ,例如平方根对数三角函数。以下运算除第一项外,均为与 有关的多值函数,在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

 
这是因为:
 
使用算术平方根符号表示:
 
其解法為先假設兩實數  ,使得 ,求解 [1]
  • 一个数的 次幂为:
 
一个数的 次方根为:
 
利用歐拉公式
  
代入不同的 值,可計算出無限多的解。当 最小的解是 0.20787957635076...[2]
  •  为底的对数为:
 
 
 

在程式語言编辑

註解编辑

  1. ^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i?页面存档备份,存于互联网档案馆) URL retrieved March 26, 2007.
  2. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

参见编辑

参考文献编辑

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接编辑