角動量圖

出現在量子力學以及其應用如多體問題量子化學等領域中,角動量圖是一種圖形表示法,用以代表一量子系統的角動量量子態,使得相關計算能以符號形式推演。此方法的箭號將角動量態與狄拉克符號連結。

此方法是由立陶宛物理學家阿朵發斯‧朱西斯英语Adolfas Jucys於20世紀發明。在量子力學以及量子場論領域中,形似的符號表示法尚有費曼圖潘洛斯圖形符號。這些圖樣包含有箭頭頂點,有些還有量子數的標記。

狄拉克符號與朱西斯角動量圖的等價编辑

角動量量子態编辑

單一粒子帶有總角動量量子數j與總磁量子數m = j, j − 1, ..., −j + 1, −j,其量子態向量以狄拉克符號的右矢(Ket)標記為|j, m,其圖形則為單箭頭的箭號。有一相對應的左矢(Bra)為j, m|,其圖形為雙箭頭的箭號,指向與右矢相反。

例子中

  • 量子數jm常標記在箭頭附近,以表示特定的角動量量子態,
  • 箭頭常在線段的中間
  • 等號"="置於等價的圖樣之間,如同相應的代數運算。

最基本的左矢與右矢圖形符號為:

右矢 |j, m
左矢 j, m|

箭號指向頂點或從頂點指出,分別為

  • 標準表象(standard representation)以一條離開頂點的指向線段表示,
  • 反標準表象(contrastandard representation)則是以一條進入頂點的指向線段表示。

箭號一個一個相接續。在反標準表象中,採用時間反轉算符TT算符是么正的,也就是其厄米伴算符T等於其反算符T−1,即T = T−1。其作用在位置算符時,結果保持不變:

 

線動量算符則變為負值:

 

自旋算符也變為負值:

 

既然軌域角動量算符L = x × p,在T算符作用後也會變為負值:

 

也因此總角動量算符J = L + S也變為負值:

 

作用在角動量算符本徵態|j, m,可得:(見註釋)

 

時間反轉的圖形符號為:

時間反轉右矢|j, m.
時間反轉左矢j, m|.

將頂點標記在正確位置相當重要,否則正向時間與反向時間的算符會相互混淆。

內積编辑

狀態|j1, m1與狀態|j2, m2的內積:

 

相應的圖形符號為:

|j1, m1|j2, m2內積,亦即j2, m2|j1, m1
時間反轉等價

將內積加總,也就是縮併的計算:

 

習慣上會以一封閉圓來表示,並且標上j

 
內積縮併計算

外積编辑

狀態|j1, m1與狀態|j2, m2的外積是一算符:

 

相對應的圖形符號為:

|j1, m1|j2, m2外積,亦即|j2, m2j1, m1|
時間反轉等價

將外積加總,也就是縮併的計算:

 

時間反轉算符T的結果可見於上式T|j, m。對外積縮併計算來縮,正向時間與反向時間沒有差別,因此圖形符號表示是相同的,皆為一無指向的線段,其上僅標示j

 
外積縮併計算

張量積编辑

n狀態|j1, m1, |j2, m2, ... |jn, mn的張量積⊗可寫為:

 

圖形符號則呈扇形——n項個別態的線段匯聚於一共同頂點。

頂點附近標有一正負號,以表示張量積的順序:

  • 負號(−)表示順序為順時針走向 
  • 正號(+)表示順序為逆時針走向 .

有時候會在正負號之外,加上彎箭頭來表示上述的走向。

|j1, m1, |j2, m2, |j3, m3張量積,亦即|j1, m1|j2, m2|j3, m3 = |j1, m1, j2, m2, j3, m3
時間反轉等價

兩張量積態的內積:

 
|j1, m1, j2, m2, j3, m3|j1, m1, j2, m2, j3, m3內積,亦即j3, m3, j2, m2, j1, m1|j1, m1, j2, m2, j3, m3
時間反轉等價

相關條目编辑

參考資料编辑

註釋编辑

延伸閱讀编辑