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角動量算符

量子力學裏,角動量算符英语:angular momentum operator)是一種算符,類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性rotational symmetry)的理論裏,角動量算符佔有中心的角色。角動量,動量,與能量是物體運動的三個基本特性[1]

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簡介编辑

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏,如同能量和動量,角動量是守恆的。在量子力學裏,角動量算符的概念是必要的,因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數,而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界,分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為,而不是命定性(deterministic)行為。

數學定義编辑

經典力學裏,角動量   定義為位置   與動量  叉積

 

在量子力學裏,對應的角動量算符   定義為位置算符  動量算符   的叉積:

 

由於動量算符的形式為

 

角動量算符的形式為

 

其中, 梯度算符。

角動量是厄米算符编辑

在量子力學裏,每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量,所以,角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點,思考角動量算符的 x-分量  

 

伴隨算符  

 

由於      ,都是厄米算符,

 

由於    之間、   之間分別相互對易,所以,

 

因此,  是一個厄米算符。類似地,   都是厄米算符。總結,角動量算符是厄米算符。

再思考   算符,

 

伴隨算符  

 

由於   算符、  算符、  算符,都是厄米算符,

 

所以,  算符是厄米算符。

對易關係编辑

兩個算符   交換算符   ,表示出它們之間的對易關係

角動量算符與自己的對易關係编辑

思考   交換算符

 

由於兩者的對易關係不等於 0 ,    彼此是不相容可觀察量   絕對不會有共同的基底量子態。一般而言, 本徵態  的本徵態不同。

給予一個量子系統,量子態為   。對於可觀察量算符   ,所有本徵值為   的本徵態   ,形成了一組基底量子態。量子態   可以表達為這基底量子態的線性組合  。對於可觀察量算符   ,所有本徵值為   的本徵態   ,形成了另外一組基底量子態。量子態   可以表達為這基底量子態的線性組合: 

根據哥本哈根詮釋量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若,我們測量可觀察量   ,得到的測量值為其本徵值   ,則量子態機率塌縮為本徵態   。假若,我們立刻再測量可觀察量   ,得到的答案必定是   ,量子態仍舊處於   。可是,假若,我們改為測量可觀察量   ,則量子態不會停留於本徵態   ,而會塌縮為   的本徵態。假若,得到的測量值為其本徵值   ,則量子態機率塌縮為本徵態  

根據不確定性原理

 

  的不確定性與   的不確定性的乘積   ,必定大於或等於  

   之間,   之間,也有類似的特性。

角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係编辑

思考    的交換算符,

 

  對易的   彼此是相容可觀察量,兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理,我們可以同時地測量到    的本徵值。

類似地,

 
 

   之間、   之間,都分別擁有類似的物理特性。

哈密頓算符與角動量算符之間的對易關係编辑

思考哈密頓算符    的交換算符,

 

  對易的   彼此是相容可觀察量,兩個算符擁有共同的本徵態。根據不確定性原理,我們可以同時地測量到    的同樣的本徵值。

類似地,

 
 

   之間,   之間,都分別擁有類似的物理特性。

在經典力學裏的對易關係编辑

在經典力學裏,角動量算符也遵守類似的對易關係:

 

其中, 帕松括號 列維-奇維塔符號    ,代表直角坐標  

本徵值與本徵函數编辑

採用球坐標。展開角動量算符的方程式:

 

其中,    ,分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標

 

其中,    ,分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以,    分別是

 
 
 

角動量平方算符是

 

其中,

 
 
 
 
 

經過一番繁雜的運算,終於得到想要的方程式[2]:169

 

滿足算符  本徵函數球諧函數  

 

其中,本徵值   是正整數。

球諧函數也是滿足算符   微分方程式的本徵函數:

 

其中,本徵值   是整數, 

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ,它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數   表達為

 

其中, 虛數單位 伴隨勒讓德多項式,用方程式定義為

 

  勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為:

 

球諧函數滿足正交歸一性

 

這樣,角動量算符的本徵函數,形成一組單範正交基。任意波函數   都可以表達為這單範正交基的線性組合

 

其中, 

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155
  2. ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 

外部連結编辑

  • 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學:角動量加法