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数学信号处理中,解析信号英语:analytic signal)是没有负频率英语negative frequency分量的复值函数。[1] 解析信号的实部和虚部是由希爾伯特轉換相关联的实值函数。

实值函数的解析表示解析信号,包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是,由于频谱的埃尔米特对称,实值函数的傅里叶变换(或频谱)的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话,这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解,并促进了调制和解调技术的衍生,如单边带。只要操作的函数没有负频率分量(也就是它仍是“解析函数”),从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是相量概念的一个推广:[2] 相量限制在时不变的振幅、相位和频率,解析信号允许有时变参数。

目录

定义编辑

 
创建一个解析信号的传递函数

  是一个实值函数,其傅里叶变换为   為一於   埃尔米特对称之函數:

    其中,  复共轭

函数:

 

其中:

  •  单位阶跃函数
  •  符号函数

仅包含  非负频率分量。而且由于   的埃尔米特对称性,该运算是可逆的:

 


 解析信号  的傅里叶逆变换:

 

其中

  •   希爾伯特轉換
  •  卷积符号;
  •  虛數單位

例子编辑

例1编辑

    其中   

于是:

 
   第三个等式为欧拉公式


欧拉公式的一个推论是   一般来说,简单正弦曲线的解析表示是通过用复指数表示它,丢弃负频率英语negative frequency分量,并对正频率分量加倍得到的。正弦曲线之和的解析表示等于单个正弦波的解析表示之和。

例2编辑

这里我们使用欧拉公式来识别并丢弃负频率。

 

于是:

 

例3编辑

这是使用希尔伯特变换方法去除负频率分量的另一个例子。我们注意到,对于复值函数  ,没有什么能阻止我们计算  。但它可能不是一种可逆的表示,因为原频谱不总是对称的。所以除了此例以外,一般讨论都假设   为实值函数。

 , 其中  .

于是:

 
 

负频率分量编辑

由于  ,恢复负频率分量就是简简单单丢弃   这件事可能与直觉不太一致。我们还可以注意到复共轭   由负频率分量构成。因此   恢复了被减弱的正频率分量。

应用编辑

包络和瞬时相位编辑

 
一个函数(蓝色)和它的解析表示的模(红),显示出包络现象。

解析信号也可以表示在其随时间变化的幅度和相位(极坐标):

 

其中:

  •   称作瞬时振幅包络英语envelope (waves)
  •   称作瞬时相位

在附图中,蓝色曲线描绘  ,红色曲线描绘对应的  

解缠的瞬时相位的时间导数的单位为rad/s,称作瞬时角频率

 

因此,瞬時頻率(单位赫兹)为:

   [3]

瞬时振幅、瞬时相位与频率在一些应用中用于测量和检测的信号的局部特征。信号的解析表示的另一个应用与调制信号的解调有关。极坐标方便将振幅調變和相位(或频率)调制的影响分开,对解调某些种类的信号很有效。

复包络/基带编辑

解析信号通常都会在频率上移位(下转换)到 0 Hz,可能会产生[非对称]负频率分量:

 

其中   是任意参考角频率。[2]

这个函数有不同的名称,如复包络基带。复包络不是唯一的;它是由   的选取决定的。这个概念通常用于处理带通信号英语passband。如果   是调制信号,  可能会等于它的载波频率英语carrier frequency

在其他情况下,  选在所需通带的中间。因此简单的实系数低通滤波器就可以去除感兴趣的部分。另一个动机是减少最高频率,从而降低最小的无混叠采样率。频移不加大复信号表示的数学处理难度。因此从这个意义上说,下转换的信号仍然是解析信号。但是恢复实值表示不再是简简单单提取实部的问题了。为了避免混疊可能需要上转换,若信号已被(离散时间)采样,还可能需要插值升採樣)。

若选取的   大于   的最高频率,则   没有正频率。在这种情况下,提取实部并恢复它们,但顺序要相反;低频分量现在变为高频分量,反之亦然。这可用于解调一种叫做下边带单边带信号。

参考频率的其他选择:

有时   的选取是要最小化

 

另外,[4]   选取还可以是要最小化线性逼近解缠的瞬时相位   的均方误差:

 

再或者(对最佳  ):

 

在信号处理领域,维格纳–威利分布定义中需要解析信号,因此该方法在实际应用中具有理想特性。[5]

有时复包络与复振幅同义;[a][b] 其他时候它作为一种时间无关的推广形式。[c] 它们的关系并不像实值的情形那样;变化的包络英语Envelope (waves)产生恒定的振幅

参见编辑

注释编辑

  1. ^ "the complex envelope (or complex amplitude)"[6]
  2. ^ "the complex envelope (or complex amplitude)", p.586 [7]
  3. ^ "Complex envelope is an extended interpretation of complex amplitude as a function of time." p.85[8]

参考文献编辑

  1. ^ ``Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition, by Julius O. Smith III, W3K Publishing, 2007, ISBN 978-0-9745607-4-8. Copyright © 2014-04-21 by Julius O. Smith III Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html[7/16/2014 1:07:57 PM]
  2. ^ 2.0 2.1 Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. p269
  3. ^ B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519-538, April 1992
  4. ^ Justice, J. Analytic signal processing in music computation. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1979-12-01, 27 (6): 670–684. ISSN 0096-3518. doi:10.1109/TASSP.1979.1163321. 
  5. ^ B. Boashash, “Notes on the use of the Wigner distribution for time frequency signal analysis”, IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 26, no. 9, 1987
  6. ^ Hlawatsch, Franz; Auger, François. Time-Frequency Analysis. John Wiley & Sons. 2013-03-01. ISBN 9781118623831 (英语). 
  7. ^ Driggers, Ronald G. Encyclopedia of Optical Engineering: Abe-Las, pages 1-1024. CRC Press. 2003-01-01. ISBN 9780824742508 (英语). 
  8. ^ Okamoto, Kenʼichi. Global Environment Remote Sensing. IOS Press. 2001-01-01. ISBN 9781586031015 (英语). 

延伸阅读编辑

  • Leon Cohen, Time-frequency analysis, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
  • Frederick W. King, Hilbert Transforms, vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
  • B. Boashash, Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier Science, Oxford, 2003.

外部链接编辑