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解析延拓數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法,一些原先發散級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函数黎曼ζ函數

初步闡述编辑

 
自然對數虛部之解析延拓

f為一解析函數,定義於複平面C中之一開子集 U,而VC中一更大且包含U之開子集。F為定義於V之解析函數,並使

 

F稱為f之解析延拓。換過來說,將F函數限制在U則得到原先的f函數。

解析延拓具有唯一性:

V為兩解析函數F1F2連通定義域,並使V包含U;若在U中所有的z使得

F1(z) = F2(z) = f(z),

則在V中所有點

F1 = F2

此乃因 F1 − F2亦為一解析函數,其值於f的開放連通定義域U上為0,必導致整個定義域上的值皆為0。此為全純函數惟一性定理的直接結果。


应用编辑

在复分析处理过程中定义函数的通常做法是,首先在较小的定义域中具体定义函数,然后通过解析延拓将其扩展到指定范围。在实际操作中,为了实现函数的连续性,我们需要在较小的定义域中建立函数方程, 然后通过这个方程拓展定义域。例如黎曼ζ函数Γ函数。全覆盖的概念最早用来定义解析函数解析延拓之后的自然定义域。寻找函数解析延拓后的最大定义域的想法最后导致了黎曼面的诞生。


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