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證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式

歐拉在他的論文《無窮級數的一些檢視》(Various Observations about Infinite Series)中證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式,並於1737年由當時的科學院出版。[1][2]

目录

公式编辑

黎曼ζ函數歐拉乘積的方式可寫成

 

而左方等於黎曼ζ函數

 

右方的乘積則擴展至所有質數p

 

證明编辑

 
證明方法採用了埃拉托斯特尼篩法的概念,此篩法用於找尋出特定範圍內的質數。

證明過程只需用到簡單的代數概念,這亦是歐拉當初使用的證明方法。

 (1)
 (2)

從(1)式減去(2)式:

 (3)

重複上面步驟:

 (4)

從(3)式減去(4)式,可得:

 

這次2和3的所有倍數項都被減去。可見右方的的倍數項可被篩去,不斷重複以上步驟可得:

 

左右兩方除以所有括號項,我們得到:

 

最後,公式可寫成質數的無窮乘積:

 

證畢。

為了使證明更嚴密,我們只需注意到當 ,已篩的右方項趨向1,並遵從狄利克雷級數的收歛性。

特別情形 编辑

從以上公式可推導出 ζ(1) 的有趣結果。

 

可以寫成,

 
 

又知:

 

所以

 

我們得知左式是調和級數,並發散至無窮大,故此右式的分子(質數階乘)必定同樣發散至無窮大。由此可以證明質數有無限多個。

參見编辑

參考資料编辑

  1. ^ O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. A history of calculus. University of St Andrews. February 1996 [2007-08-07]. 
  2. ^ John Derbyshire (2003), chapter 7, "The Golden Key, and an Improved Prime Number Theorem"
  • John Derbyshire, Prime Obsession: Bernhard Riemann and The Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Joseph Henry Press, 2003, ISBN 978-0-309-08549-6