證明22⁄7大於π

人們經常使用${\frac {22}{7}}$這個有理數作為圓周率$\pi$的丢番圖逼近。在$\pi$的連分數表達中，${\frac {22}{7}}$是它的一個渐近分數。從這兩個數字的小數形式可見${\frac {22}{7}}$是大於$\pi$的：

${\frac {22}{7}}\approx 3.142857\dots \,$

$\pi \approx 3.141592\dots \,$

這個近似值從古代就有人使用。縱使阿基米德並非這個近似值的始創者，但他證明了${22 \over 7}$高估了圓周率。他以${22 \over 7}$大於外切正96邊形的周界：該圓直徑之比作證明。

這個近似值常被稱為「約率」，除這以外，常用的近似值還有同是由祖沖之在5世紀提出的密率：${355 \over 113}$。

以下是另一個${\frac {22}{7}}>\pi$的證明，所用到的只是微積分的基本技巧。它本來只是用於顯示可以用有系統的方法計算π的值，而非以證明${\frac {22}{7}}>\pi$為最終目標。它比起一些基本證明更容易理解。它的優雅是由於它和丟番圖逼近的關連。路卡斯稱這條公式為「其中一個估計π值的最美麗結果」。Havil以這個結果作爲一個有關以連分數估計的討論之結尾，說它在該範疇是「不得不提及」的。

概念

$0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi$

故此${\frac {22}{7}}>\pi$。

詳情

被積函數是一個分數，其分子和分母皆是非負函數，所以該積分是正數。由於被積函數是正數，由0至1的定積分也大於0。

以下就證明該積分實際上與${22 \over 7}$的關係：

$0\,$	$<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx$
	$=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx$	展開分子的數項
	$=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx$	多項式長除法
	$=\left[{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,\right]_{0}^{1}$	定積分（微积分基本定理）
	$={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \$	把結果代入1和0，然後相減。注意：$\arctan 1={\frac {\pi }{4}}$
	$={\frac {22}{7}}-\pi .$	加數

布肯南數學比賽中的出現

求取這積分的值是1968年威廉·罗威尔·普特南数学竞赛的第一個題目：

A-1. 证明

${\frac {22}{7}}-\pi =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx$

上限和下限

達賽爾（1944）指出，只要把1代入分母中的$x$，可輕易取得積分的下限；把0代入分母中的$x$，可取得積分的上限：

${1 \over 1260}<\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx<{1 \over 630}.$

結果得出

${22 \over 7}-{1 \over 630}<\pi <{22 \over 7}-{1 \over 1260}.$

也許這是計算$\pi$值至小數後3位的最快和最基本的方法。另參見達賽爾（1971）.

相關條目

• 圓周率
• 證明0.999...等於1
• 证明所有素数的倒数之和发散
• 费马平方和定理的证明
• 數學符號表

外部連結

• Pi的故事（页面存档备份，存于互联网档案馆），Jonathan Borwein著；第5頁出現這積分