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動機编辑

讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學,而引入的概念,從而面臨計算層上同調的問題。為此,勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法,它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。

人們很快就發現:勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題;更抽象地說,對合成函子取導函子也會得到譜序列,稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡鍊的框架,譜序列仍是最有效的計算工具。

由於譜序列包含大量的項,實際計算時往往會陷入帶(至少)三重指標的的迷陣。在許多實際狀況中,譜序列最後會「塌陷」,此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷,則須靠一些竅門取得有用的資訊。

形式定義编辑

以下固定一個阿貝爾範疇  ,常見例子是一個環上的範疇。譜序列是一個非負整數   及下述資料:

  • 對所有整數  ,有範疇中的一個對象  
  • 自同態  ,滿足  ,稱為邊界映射微分
  •    的同構。

通常省去    的同構,而寫成等式。

最基本的例子是鏈複形  ,它帶有一個微分  。取  ,並令  ,於是必有  ;這個新鏈複形上的微分只有一個自然的選擇,就是零映射。於是有  。綜之,我們得到一個鏈複形範疇上的譜序列:

  •  
  •  

由於只有   時微分映射才可能非零,此序列在第一步後就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模(或層)範疇上的譜序列,表作  ,此時的微分映射次數與   有關:對於上同調譜序列,  的次數是  。對於同調譜序列,通常將各項寫成  ,微分映射   的次數是  

譜序列之間的態射   定義為一族態射  ,使之與同構   交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

正合偶编辑

交換代數中大部分的譜序列來自鏈複形,而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見,此時對於許多譜序列,正合偶是唯一已知的構造法。事實上,正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇(通常取一個環上的雙分次模) ,一個正合偶是:

  • 一對對象  
  • 三個態射:
    •  
    •  
    •  

使之滿足下述正合條件:

  • Image f = Kernel g
  • Image g = Kernel h
  • Image h = Kernel f

將這組資料簡記為  。正合偶通常以三角形表示。  對應到譜序列的   項,而   是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項,以下將構造導出偶。令:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •    導出。
  •   定義如下:若   為某個環上的範疇,對任一  ,存在   使得  ,定義     中的像。一般而言,可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射  

現在可以驗證   構成正合偶。  對應到譜序列的   項。續行此法,可以得到一族正合偶  。相應的譜序列定義為   

圖解编辑

 
譜序列的 E2

一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊,不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標  。對每個  ,設想有一張方格紙,分別讓   對應於橫、縱軸。每一個格子點   對應到對象  。微分   的次數為  ,方向如圖所示。

收斂與退化编辑

在第一個簡單的例子中,譜序列在   後的微分映射皆為零,故不再改變。這時可定義該譜序列的極限 。對於一般的譜序列,也往往存在一個極限,極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。

定義:若譜序列   對每個   都存在  ,使得當   時,   皆為零,則稱  極限項 (取充分大的  )。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列,此時極限項恆存在。

其中的指標   指涉過濾結構。

若存在對象  、過濾結構  ,及一族同構  ,滿足  (這種過濾稱為「正則過濾」),則稱   收斂 ,通常表為下述符號:

 

習慣上,人們也常將左式寫成  ,因為譜序列中最重要的頁往往是  

最簡單的收斂特例是退化

定義:固定  ,若對每個  ,微分映射   都是零,則稱該譜序列在第   頁退化。

退化性保證了  ,此時   即其極限。如果一個雙分次譜序列   的非零項集中於某一條水平或垂直線上,則必在   時退化。

例子编辑

過濾結構導出的譜序列编辑

最常見的譜序列之一來自帶有過濾結構的對象,通常是鏈複形或上鏈複形。這是一個對象   及微分映射   ,使之滿足  ,以及

 
 

同調群上也有相應的過濾

 

對此,定義相應的分次對象

 
 

取微分映射為零,可視之為複形。

以下式定義譜序列:

 
 

此時有  ,且譜序列收斂:

 

通常也寫成  

  為取值在某個阿貝爾範疇中的上鏈複形範疇。此時的對象   是個上鏈複形    是上鏈複形的微分映射。上述譜序列帶有三個指標  ,並可進一步化成下述形式:

 
 
 

雙複形的譜序列编辑

以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的雙複形,即一組對象  ,及兩組微分映射   ,滿足

 
 

對一個雙複形,可定義其全複形  (也記為   ) 為

 
 

  上有兩組過濾,分別是:

 
 

它們給出兩個譜序列   。首先計算   項:

 
 
 (即:先取縱向上同調,再取橫向上同調)

同理可計算  

 
 
 (即:先取橫向上同調,再取縱向上同調)。

這兩個譜序列通常是不同的,但隨著   增大,它們都收斂到  ,由此可以得到一些有趣的比較定理。

例子编辑

Tor函子的交換性编辑

利用譜序列,可以迅速導出Tor函子的交換性,即一自然同構:

 

取定平坦分解   。視之為集中於正項的複形,其微分映射分別記為  。考慮雙複形  ,其微分映射定義為  (以使微分映射滿足反交換性)。取其譜序列,遂得到:

 
 

由於複形   是平坦分解,其同調群只集中在零次項,此時其表示式為:

 
 

  只在   上有非零項,而   只在   上有非零項,這保證了譜序列在第二頁退化,由此導出同構:

 
 

  時,上述等式的右項同構(雖然其分次結構不同),由此得到 Tor 的交換性。

示性數编辑

運用譜序列時,通常會假設某些項為零,或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分映射一無所知,仍可從譜序列中萃取資訊,最簡單的例子是示性數:固定一個阿貝爾範疇   及一個交換群  ,所謂示性數是一個函數  ,滿足:

  •  
  •  

例如:取   為某個域   上的有限維向量空間範疇,則   是一個示性數。

對任一   上的有限複形  ,定義

 

容易證明  。考慮任一在   上的收斂譜序列  ,由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調,遂得到

 

然而

 

於是得到

 


參考資料编辑

歷史文獻编辑

  • Leray, Jean. L'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1366––1368. 
  • Leray, Jean. Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1419––1422. 
  • Koszul, Jean-Louis. Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau. C. R. Acad. Sci. Paris. 1947, 225: 217––219. 
  • Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. I, II. Ann. of Math. (2nd series). 1952, 56: 363––396. 
  • Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. III, IV, V. Ann. of Math. (2nd series). 1953, 57: 248––286. 

當代文獻编辑