负二项分布

負二項分布（Negative binomial distribution）是統計學上一種描述在一系列独立同分布的伯努利试验中，成功次数到达指定次数（记为r）时失败次数的離散概率分布。比如，如果我们定义掷骰子随机变量x值为x=1时为成功，所有x≠1为失败，这时我们反复掷骰子直到1出现3次（成功次数r=3），此时非1数字出现次数的概率分布即为负二项分布。

负二项分布

概率质量函數 紅線是平均值 綠線是標準差
参数	$r>0\!$ (實) $0<p<1\!$（實）
值域	$k\in \{0,1,2,\ldots \}\!$
概率质量函数	${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\!$
累積分布函數	$I_{p}(r,k+1)$
期望值	$r\,{\frac {1-p}{p}}\!$
眾數	$\lfloor (r-1)\,(1-p)/p\rfloor {\text{ if }}r>1$ $0{\text{ if }}r\leq 1$
方差	$r\,{\frac {1-p}{p^{2}}}\!$
偏度	${\frac {2-p}{\sqrt {r\,(1-p)}}}\!$
峰度	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,(1-p)}}\!$
矩生成函数	$\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}\!$
特徵函数	$\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{i\,t}}}\right)^{r}\!$

帕斯卡分布（Pascal distribution，来自Blaise Pascal）和波利亚分布（Polya distribution，又称罐子模型，来自George Pólya）均是负二项分布的特例。在工程，气候等领域中经常用“负二项分布”或“帕斯卡分布”来描述变量r为整数的情况，而使用“波利亚分布”来描述r取到实数值R的情况。

对于“传染性的”（"contagious"）的离散事件，例如龙卷风爆发，相比泊松分布，波利亚分布由于允许其平均值和方差不同，而能够给出更精确的模型。“传染性”的事件中，如果事件发生率相互独立，其发生率间的正相关性（即发生率间存在正协方差项）会导致变量分布有更大的方差。

“负二项分布”与“二项分布”的区别在于：“二项分布”是固定试验总次数N的独立试验中，成功次数k的分布；而“负二项分布”是所有到r次成功时即终止的独立试验中，失败次数k的分布。

定义

若每次伯努利试验有两种可能的结果，分别为成功或者失败。在每次试验中，成功的概率为p，失败的概率为（1-p）。反复进行该伯努利试验，直到观察到第r次成功发生。此时试验失败次数$X$的分布即为负二项分布（或称帕斯卡分布），那么：

若随机变量${\mathit {X}}$服从参数为${\mathit {r}}$和${\mathit {p}}$的负二项分布，则记为$X\sim NB(r,p)$.

在实际生活中，我们可以使用负二项分布描述某种机器在坏掉前，能够工作的天数的分布。此时，“成功”的事件可以指机器正常工作一天，“失败”的事件可以指机器故障的一天。如果我们使用负二项分布来描述运动员在获取r个奖牌前尝试的次数的分布，此时，“失败”的事件指运动员的一次尝试，“成功”的事件指运动员获取一枚奖牌。如果使用负二项分布来描述掷一枚硬币出现r次正面前，出现硬币反面的次数的分布，“成功”的事件指出现硬币的正面，“失败”的事件指出现硬币的反面。

概率质量函数

帕斯卡分布

當$r$是整數時的負二項分布又稱帕斯卡分布，其概率質量函數為：

$f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc$

其中k是失败的次数，r是成功的次数，p是事件成功的概率。在负二项分布的概率质量函数中，由于k+r次伯努利试验为独立同分布，每个成功r次、失败k次的事件的概率为(1 − p)^kp^r。由于第r次成功一定是最后一次试验，所以应该在k+r-1次试验中选择r-1次成功，使用排列组合二项系数获取所有可能的选择数。

二项系数与负二项名称来源

括号中为二项式系数表达式：

${\binom {k+r-1}{r-1}}={\frac {(k+r-1)!}{(k)!\,(r-1)!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{(k)!}}$

该表达式可以写成带负值参数的二项系数的形式，如下式所示，解释了“负二项”名称的来源：

${\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}\\[6pt]={}&(-1)^{k}{\frac {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{k}}.\end{aligned}}$

概率质量函数对所有可能k值求和为1

帕斯卡分布概率质量函数f(k;r,p)对所有可能k值求和，一定等于1：

$\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}p^{r}q^{k}=1$

证明如下：

$1=p^{r}p^{-r}=p^{r}(1-q)^{-r}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-r}{k}}(-q)^{k}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-r}{k}}q^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}p^{r}q^{k}$

其中第三步用到了二项序列展开。

几何分布

取$r=1$，負二項分布等於幾何分布。其概率質量函數為$f(k;1,p)=p\cdot (1-p)^{k}\!$。

例子

舉例說，若我們擲骰子，擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是1/6。要擲出三次一，所需的擲骰次數屬於集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。擲到三次一的擲骰次數是負二項分布的隨機變數。要在第三次擲骰時，擲到第三次一，則之前兩次都要擲到一，其機率為$(1/6)^{3}$。注意擲骰是伯努利試驗，之前的結果不影響隨後的結果。

若要在第四次擲骰時，擲到第三次一，則之前三次之中要有剛好兩次擲到一，在三次擲骰中擲到2次1的機率為${3 \choose 3-1}\left({5 \over 6}\right)\left({1 \over 6}\right)^{2}$。第四次擲骰要擲到一，所以要將前面的機率再乘（1/6）：${(1+3)-1 \choose 3-1}\left({1 \over 6}\right)^{3}\left({5 \over 6}\right)$。

參見

• 二項式分布
• 幾何分布