费马伪素数

偽素數

费马伪素数(英語:Fermat pseudoprime)是指满足费马小定理伪素数,也是最重要的一类伪素数。

其定义是:对自然数和一个与其互素的自然数a,如果整除 ax-1 - 1,则称是一个以a为底的费马伪素数或者关于a的费马伪素数。最小的费马伪素数是341=11×31,关于2)。如果关于任何与其互素的数都是费马伪素数,则称绝对伪素数(或卡邁克爾數,来自找到第一个绝对伪素数的数学家羅伯特·丹尼·卡邁克爾)。最小的绝对伪素数是561

有人已经证明了费马伪素数的个数是无穷的。有一位数学家如此评论:“对于素数,费马小定理肯定是正确的;但他没说在合数中就不正确。”事实上,费马小定理给出的是关于素数判定的必要不充分条件

另外,若:不是質數(如下表中的情況),則它就一定是偽質數。 這些當中包含了所有的費馬合數(當n=2k),梅森合數(當n=p)及瓦格斯塔夫合數(當n=2p)

分圓多項式階數n 偽質數
11 2047=23x89
23 8388607=47x178481
25 1082401=601x1801
28 3277=29x113
29 536870911=233x1103x2089
35 8727391=71x122921
36 4033=37x109
37 137438953471=223x616318177
39 9588151=79x121369

费马伪素数年表编辑

  • 1819年,萨鲁斯(Sarrus)发现第一个伪素数341
  • 1903年,马洛(Malo)证明:若n为伪素数,则 也是一个伪素数,从而肯定了伪素数的个数是无穷的。
  • 1950年,发现第一个偶伪素数  
  • 1951年,皮格(Beeger)证明了存在无限多个偶伪素数。

以2为底的前50个费马伪素数编辑

OEIS中的数列A001567

n n n n n
1 341 =   11 2821 =   21 8481 =   31 15709 = 23 · 683 41 30121 = 7 · 13 · 331
2 561 = 3 · 11 · 17 12 3277 = 29 · 113 22 8911 = 7 · 19 · 67 32 15841 = 7 · 31 · 73 42 30889 = 17 · 23 · 79
3 645 = 3 · 5 · 43 13 4033 = 37 · 109 23 10261 = 31 · 331 33 16705 = 5 · 13 · 257 43 31417 = 89 · 353
4 1105 = 5 · 13 · 17 14 4369 = 17 · 257 24 10585 = 5 · 29 · 73 34 18705 = 3 · 5 · 29 · 43 44 31609 = 73 · 433
5 1387 = 19 · 73 15 4371 = 3 · 31 · 47 25 11305 = 5 · 7 · 17 · 19 35 18721 = 97 · 193 45 31621 = 103 · 307
6 1729 = 7 · 13 · 19 16 4681 = 31 · 151 26 12801 = 3 · 17 · 251 36 19951 = 71 · 281 46 33153 = 3 · 43 · 257
7 1905 = 3 · 5 · 127 17 5461 = 43 · 127 27 13741 = 7 · 13 · 151 37 23001 = 3 · 11 · 17 · 41 47 34945 = 5 · 29 · 241
8 2047 = 23 · 89 18 6601 = 7 · 23 · 41 28 13747 = 59 · 233 38 23377 = 97 · 241 48 35333 = 89 · 397
9 2465 = 5 · 17 · 29 19 7957 = 73 · 109 29 13981 = 11 · 31 · 41 39 25761 = 3 · 31 · 277 49 39865 = 5 · 7 · 17 · 67
10 2701 = 37 · 73 20 8321 = 53 · 157 30 14491 = 43 · 337 40 29341 = 13 · 37 · 61 50 41041 = 7 · 11 · 13 · 41

以任意整数为底的最小费马伪素数编辑

OEIS中的数列A007535

a 最小的伪素数 a 最小的伪素数 a 最小的伪素数 a 最小的伪素数
1 4 =   51 65 = 5 · 13 101 175 =   151 175 =  
2 341 = 11 · 31 52 85 = 5 · 17 102 133 = 7 · 19 152 153 =  
3 91 = 7 · 13 53 65 = 5 · 13 103 133 = 7 · 19 153 209 = 11 · 19
4 15 = 3 · 5 54 55 = 5 · 11 104 105 = 3 · 5 · 7 154 155 = 5 · 31
5 124 =   55 63 =   105 451 = 11 · 41 155 231 = 3 · 7 · 11
6 35 = 5 · 7 56 57 = 3 · 19 106 133 = 7 · 19 156 217 = 7 · 31
7 25 =   57 65 = 5 · 13 107 133 = 7 · 19 157 186 = 2 · 3 · 31
8 9 =   58 133 = 7 · 19 108 341 = 11 · 31 158 159 = 3 · 53
9 28 =   59 87 = 3 · 29 109 117 =   159 247 = 13 · 19
10 33 = 3 · 11 60 341 = 11 · 31 110 111 = 3 · 37 160 161 = 7 · 23
11 15 = 3 · 5 61 91 = 7 · 13 111 190 = 2 · 5 · 19 161 190 = 2 · 5 · 19
12 65 = 5 · 13 62 63 =   112 121 =   162 481 = 13 · 37
13 21 = 3 · 7 63 341 = 11 · 31 113 133 = 7 · 19 163 186 =  
14 15 = 3 · 5 64 65 = 5 · 13 114 115 = 5 · 23 164 165 =  
15 341 = 11 · 31 65 112 =   115 133 = 7 · 19 165 172 =  
16 51 = 3 · 17 66 91 = 7 · 13 116 117 =   166 301 = 7 · 43
17 45 =   67 85 = 5 · 17 117 145 = 5 · 29 167 231 =  
18 25 =   68 69 = 3 · 23 118 119 = 7 · 17 168 169 =  
19 45 =   69 85 = 5 · 17 119 177 = 3 · 59 169 231 = 3 · 7 · 11
20 21 = 3 · 7 70 169 =   120 121 =   170 171 =  
21 55 = 5 · 11 71 105 =   121 133 = 7 · 19 171 215 = 5 · 43
22 69 = 3 · 23 72 85 = 5 · 17 122 123 = 3 · 41 172 247 = 13 · 19
23 33 = 3 · 11 73 111 = 3 · 37 123 217 = 7 · 31 173 205 = 5 · 41
24 25 =   74 75 =   124 125 =   174 175 =  
25 28 =   75 91 = 7 · 13 125 133 = 7 · 19 175 319 = 11 · 19
26 27 =   76 77 = 7 · 11 126 247 = 13 · 19 176 177 = 3 · 59
27 65 = 5 · 13 77 247 = 13 · 19 127 153 =   177 196 =  
28 45 =   78 341 = 11 · 31 128 129 = 3 · 43 178 247 = 13 · 19
29 35 = 5 · 7 79 91 = 7 · 13 129 217 = 7 · 31 179 185 = 5 · 37
30 49 =   80 81 =   130 217 = 7 · 31 180 217 = 7 · 31
31 49 =   81 85 = 5 · 17 131 143 = 11 · 13 181 195 =  
32 33 = 3 · 11 82 91 = 7 · 13 132 133 = 7 · 19 182 183 = 3 · 61
33 85 = 5 · 17 83 105 = 3 · 5 · 7 133 145 = 5 · 29 183 221 = 13 · 17
34 35 = 5 · 7 84 85 = 5 · 17 134 135 =   184 185 = 5 · 37
35 51 = 3 · 17 85 129 = 3 · 43 135 221 = 13 · 17 185 217 = 7 · 31
36 91 = 7 · 13 86 87 = 3 · 29 136 265 = 5 · 53 186 187 = 11 · 17
37 45 =   87 91 = 7 · 13 137 148 =   187 217 = 7 · 31
38 39 = 3 · 13 88 91 = 7 · 13 138 259 = 7 · 37 188 189 =  
39 95 = 5 · 19 89 99 =   139 161 = 7 · 23 189 235 = 5 · 47
40 91 = 7 · 13 90 91 = 7 · 13 140 141 = 3 · 47 190 231 = 3 · 7 · 11
41 105 = 3 · 5 · 7 91 115 = 5 · 23 141 355 = 5 · 71 191 217 = 7 · 31
42 205 = 5 · 41 92 93 = 3 · 31 142 143 = 11 · 13 192 217 = 7 · 31
43 77 = 7 · 11 93 301 = 7 · 43 143 213 = 3 · 71 193 276 =  
44 45 =   94 95 = 5 · 19 144 145 = 5 · 29 194 195 = 3 · 5 · 13
45 76 =   95 141 = 3 · 47 145 153 =   195 259 = 7 · 37
46 133 = 7 · 19 96 133 = 7 · 19 146 147 =   196 205 = 5 · 41
47 65 = 5 · 13 97 105 = 3 · 5 · 7 147 169 =   197 231 = 3 · 7 · 11
48 49 =   98 99 =   148 231 = 3 · 7 · 11 198 247 = 13 · 19
49 66 = 2 · 3 · 11 99 145 = 5 · 29 149 175 =   199 225 =  
50 51 = 3 · 17 100 153 =   150 169 =   200 201 = 3 · 67

参见编辑