费马引理

费马引理实分析中的一个定理,以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点(函数的导数在该点为零),该定理给出了一个求出可微函数最大值最小值的方法。因此,利用费马引理,求函数的极值的问题便化为解方程的问题。

需要注意的是,费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说,有些驻点不是极值,它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值,并进一步区分最大值和最小值,我们需要分析二阶导数(如果它存在)。

定理编辑

设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意的 ,有

  

那么 

费马引理的一个推论是,函数f在定义域A内的最大值和最小值只能在边界上,不可导的点,或驻点取得。

证明编辑

假设 是一个极大值(如果 是极小值,证明亦类似)。那么存在一个 ,使得对于所有的 ,都有 。因此对于任何 ,有:

 

由于当 从上方趋于0时,这个比值的極限存在且为 ,我们便有 。另一方面,当 时,我们注意到:

 

 从下方趋于0时,这个极限存在,且等于 ,我们又有 

因此 

参见编辑

外部链接编辑