# 布尔素理想定理

（重定向自超滤子引理

## 布尔素理想定理

B是布尔代数，I是理想，并设FB的一个滤子，使得IF不交。则I被包含在B的不相交于F的某个素理想中。

BPI有不同表达方式。布尔代数中，有以下定理：

• I是素理想。
• I是极大真理想，就是说对于任何真理想J，如果I包含在J中则I = J
• 对于B的所有元素aI正好包含{a, ¬a}之一。

B是布尔代数，设I是一个理想并设FB的一个滤子，使得IF不相交。则I包含在B的不相交于F的某个极大理想内。

B是布尔代数，设I是一个理想并设FB的一个滤子，使得IF不相交。则I包含在B的不相交于F的所有理想中极大的某个理想内。

## 注释

1. ^ 即：若${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ，則${\displaystyle y\in I}$
2. ^ 即：若${\displaystyle x,y\in I}$ ，則${\displaystyle x\vee y\in I}$

## 參考文獻

• B. A. Davey and H. A. Priestley, Introduction to Lattices and Order, 2nd edition, Cambridge University Press, 2002.
An easy to read introduction, showing the equivalence of PIT for Boolean algebras and distributive lattices.
• P. T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge studies in advanced mathematics 3, Cambridge University Press, 1982.
The theory in this book often requires choice principles. The notes on various chapters discuss the general relation of the theorems to PIT and MIT for various structures (though mostly lattices) and give pointers to further literature.
• B. Banaschewski, The Power of the Ultrafilter Theorem, Journal of the London Mathematical Society (2) 27, 193--202, 1983.
Discusses the status of the ultrafilter lemma.
• M. Erné, Prime Ideal Theory for General Algebras, Applied Categorical Structures 8, 115--144, 2000.
Gives many equivalent statements for the BPI, including prime ideal theorems for other algebraic structures. PITs are considered as special instances of separation lemmas.