超越數

不能用有理系數代數方程的根來表示的數值
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各种各样的
基本

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延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

數論中,超越數(transcendental number)是指任何一個不是代數數的无理数。只要它不是任何一個有理係數代數方程,它即是超越數。最著名的超越數是e以及π

幾乎所有實數複數都是超越數,這是因為代數數的集合是可數集,而實數和複數的集合是不可數集之故。

定義编辑

超越數是代數數的相反,也即是說若 是一個超越數,那麼對於任何整數 都符合:

 

(其中 

例子编辑

超越數的例子包括:

  • 錢珀瑙恩數
  • 刘维尔数 
    它是第一個確認為超越數的數,是於1844年刘维尔發現的。
  •  (参见:e)。
  •   ,其中 是除0以外的代數數。
  •  (参见:圓周率
    林德曼-魏尔斯特拉斯定理,1882年,注:因 是超越數而證明尺規作圖中的“化圓為方”的不可實現性。
  •  (参见:e的π次方
  •  (参见:2的√2次方)。
    更一般地,若 以外的任何代數數 無理代數數 必為超越數。這就是格尔丰德-施奈德定理
  •  (参见:正弦
  •  (参见:自然对数),其中 為一不等于1的有理數
  •  (参见:朗伯W函數),其中 為一有理數
  •          (參見伽傌函數)。

所有超越數構成的集是一個不可數集,也就是說,幾乎所有的實數和複數都是超越數;儘管如此,現今發現的超越數極少,甚至连 是不是超越数也不知道,因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的證明,給數學帶來了大的變革,解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題,即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現,這三大問題被證明為不可能。

可能的超越數编辑

以下數仍待證明為超越數或代數數:

  • e 的大多數和、積、冪等等,例如 ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是 ,   (對於所有正整數  )已被證明是超越數[1][2]
  • 欧拉-马歇罗尼常数 (尚未被證明是無理數)
  • 卡塔兰常数,同樣未被證明是無理數
  • 阿培里常数  (已由阿培里英语Roger Apéry證明是無理數)
  • 黎曼ζ函數在其他奇整數的取值, (尚未被證明是無理數)
  • 費根鮑姆常數  
  • 米尔斯常数

猜想:

簡要地證明是超越數编辑

第一個對自然對數底 e是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大卫·希尔伯特的策略。他給出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示:

為尋找矛盾,假設 是代數數。那就存在一個有限的整係數集 滿足下列等式:

 

現在對於一個正整數 ,我們定義如下的多項式:

 

並在上述等式的兩端乘上

 

於是我們得到等式:

 

該等式可以寫成這種形式

 

其中

 
 

引理 1. 對於恰當選擇的的   是非零整數。

證明: P 的每一項都是整數乘以階乘的和,這可以從以下的關係式得出

 

對於任何正整數 j 成立(考慮Γ函数)。

它是非零的,因為對於每一個滿足 0< ana

 

中的被積函數均為 e−x 乘以一些項的和,在積分中用 x - a 替換 x 后, x 的最低冪次是 k+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和

 

其中 k+1 ≤ j ,而且它是一個能被 (k+1)! 整除的整數。在除以 k! 后,我們得到模 (k+1) 得 0 的數。不過,我們可以寫成:

 

於是

 

通過選擇 k ,使得 k+1 是大於 n 與 |c0| 的質數,我們可以得出   模 (k+1) 為非零,從而該數為非零整數。

引理 2. 對於充分大的 k 

證明: 注意到

 

使用   區間 [0,n] 的上限 G 和 H ,我們可以推出

 

從而

 

於是有

 

這點足以完成對引理的證明。

注意可以選擇滿足兩個引理的 ,從而我們能得出矛盾。進而得以證明 的超越性。

馬勒的分類编辑

库尔特·马勒英语Kurt Mahler在1932年把超越數分為3類,分別叫做S數T數U數[3]。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。

實數的無理性度量编辑

一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數 ,可以使得一次多項式 盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的  ,  是滿足 ,  以正整數 為界的整數。

 為這些多項式所取的最小非零絕對值,並且令:

 
 

 常稱為實數 無理性度量measure of irrationality)。對於有理數 ,而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。Thue–Siegel–Roth定理英语Thue–Siegel–Roth theorem表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。

複數的超越性度量编辑

接下來考慮多項式對於複數 的取值,這些多項式係數為整數,次數至多為 ,而且英语Height of a polynomial至多為 ,此處的 ,  是正整數。

 為以 為變量的上述多項式所取的最小非零值,並且令:

 
 

假如對於盡可能小的正整數  為無窮大,則這種情況下複數 稱為 次的U數

現在我們可以定義

 

 常稱為 超越性度量measure of transcendence)。假如 有界,則 有限, 稱為S數。如果 有限而無界,則 稱為T數 為代數數當且僅當 

顯然劉維爾數是U數的子集。威廉·勒维克英语William J. LeVeque在1953年構造了任意次數的U數[4][5]。劉維爾數是不可數集,從而U數也是。它們的測度為 0 [6]

T數組成的集合測度亦為 0 [7]。人們花了 35 年時間證明它們存在。沃尔夫冈·M·施密特英语Wolfgang M. Schmidt在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數[8]。馬勒證明了當 為任意非零代數數時 均為S數[9][10]:這點揭示了 是S數且給出了 的超越性證明。對於 我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。

兩個數 ,  稱為代數相關,當存在 2 個變量的整係數非零多項式 滿足 。一個有力的定理指出,屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的[5][11]。這允許我們構造新形式的超越數,例如劉維爾數與  的和。

通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾(Carl Ludwig Siegel),而 T 和 U 是接下來的兩個字母。

Koksma 的等價分類编辑

Jurjen Koksma英语Jurjen Koksma 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類[3][12]

考慮用次數 且高 的代數數逼近複數 。令 為該有限集中滿足 取最小正值得代數數。定義  如下:

 
 

若對於最小的正整數  為無窮大,則稱  次的U*數

 有界且不收斂到 0 ,則則稱 S*數

一個數 被稱為 A*數 ,當 收斂到 0 。

若所有的 均為有限但無界,則稱 xT*數

Koksma和馬勒的分類是等價的,因為它們將超越數以同樣的方式分類[12]A*數就是代數數[8]

勒維克的構造编辑

 

可以證明 (劉維爾數)的 次方根是 次的U數[13]

此構造可以改進以建立 次U數的不可數個系列。令 為上述 的級數中 10 的冪次的集合。 所有子集的集合是不可數的。在表示 的級數中刪去任意一個 的子集,將產生不可數個顯然的劉維爾數,它們每一個的 次方根都是次數為 的U數。

類型编辑

數列 的上界稱為類型type)。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數,此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數,此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出,於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明[4]

参考文献编辑

  1. ^ 埃里克·韦斯坦因. Irrational Number. MathWorld. 
  2. ^ Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319. [2015-03-08]. (原始内容存档于2015-04-02). 
  3. ^ 3.0 3.1 Bugeaud (2012) p.250
  4. ^ 4.0 4.1 Baker (1975) p. 86.
  5. ^ 5.0 5.1 LeVeque (2002) p.II:172
  6. ^ Burger and Tubbs, p. 170.
  7. ^ Burger and Tubbs, p. 172.
  8. ^ 8.0 8.1 Bugeaud (2012) p.251
  9. ^ LeVeque (2002) pp.II:174–186
  10. ^ Burger and Tubbs, p. 182.
  11. ^ Burger and Tubbs, p. 163.
  12. ^ 12.0 12.1 Baker (1975) p.87
  13. ^ Baker(1979), p. 90.

參見编辑