转置矩阵

在线性代数中，矩阵A的转置是另一个矩阵A^T（也写做A^tr, ^tA或A′）由下列等价动作建立：

• 把A的横行写为A^T的纵列
• 把A的纵列写为A^T的横行

矩陣A的轉置A^T的取得方法。重覆以上動作會得出原本的矩陣。

形式上说，m × n矩阵A的转置是n × m矩阵

$A_{ij}^{\mathrm {T} }=A_{ji}$ for $1\leq i\leq n,$ $1\leq j\leq m$。

注意：$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$（轉置矩陣）與$\mathbf {A} ^{-1}$（逆矩陣）不同。

例子

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$
• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

性质

对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质：

• $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad$

  转置是自身逆运算。

• $(A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }$

  转置是从m × n矩阵的向量空间到所有n × m矩阵的向量空间的线性映射。

• $\left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }$

  注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A是可逆矩阵，当且仅当A^T是可逆矩阵，在这种情况下有 (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T。

• $(cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }$

  标量的转置是同样的标量。

• $\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)$

  矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。

• 两个纵列向量a和b的点积可计算为

  $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b}$

• 如果A只有实数元素，则A^TA是正半定矩阵。
• 如果A是在某个域上，则A 相似于A^T。

特殊转置矩阵

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵；就是说A是对称的，如果

$A^{\mathrm {T} }=A$。

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵；就是说G是正交的，如果

$GG^{\mathrm {T} }=G^{\mathrm {T} }G=I_{n},\,$ I是单位矩阵。

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是A是斜对称的，如果

$A^{\mathrm {T} }=-A$。

复数矩阵A的共轭转置，写为A^H，是A的转置后再取每个元素的共轭复数:

$A^{H}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {(A^{\mathrm {T} })}}$

线性映射的转置

如果f: V→W是在向量空间V和W之间非退化双线性形式的线性映射，我们定义f的转置为线性映射^tf : W→V，确定自

$B_{V}(v,{}^{t}f(w))=B_{W}(f(v),w)\quad \forall \ v\in V,w\in W$

这裡的，B_V和B_W分别是在V和W上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵，只要基是关于它们的双线性形式是正交的。

在复向量空间上，经常用到半双线性形式来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义，转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出，如果基是正交的。在这种情况下，转置也叫做埃尔米特伴随。

如果V和W没有双线性形式，则线性映射f: V→W的转置只能定义为在对偶空间W和V之间的线性映射 ^tf : W^*→V^*。

外部链接

• MIT Video Lecture on Matrix Transposes at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• Transpose, mathworld.wolfram.com
• Transpose, planetmath.org