辛標記

哈密頓力學裏,因為哈密頓方程式對於廣義坐標 廣義動量 的運算在正負號上並不對稱,必須用兩個方程式來表示:

這裏, 哈密頓量

辛標記提供了一種既簡單,又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。辛標記的英文名 「Symplectic notation」 最先是德國著名數學家赫尔曼·外尔提出的[1]。 Symplectic 這字原來在希臘文是糾纏編結的意思;用在這裏主要是形容廣義坐標和廣義動量互相編結在一起的情況。

設定一個 的豎矩陣  :

此矩陣上半段是廣義坐標、下半段是廣義動量 代表轉置運算。我們也可以將 視為一個向量

定義辛矩陣 為一個斜對稱 方塊矩陣

這裏, 是由 4 個 零矩陣單位矩陣組成。

這樣,哈密頓方程式可以簡易的表示為

正則變換编辑

正則變換是一種正則坐標的改變,而同時維持哈密頓方程式的形式,雖然哈密頓量可能會改變。所以,使用正則變換,正則坐標會從舊正則坐標   改變成新正則坐標    ;哈密頓量也從舊的哈密頓量   改變成新的哈密頓量    ;但是,哈密頓方程式的形式仍舊維持不變:

 

帕松括號编辑

相空间中,用正則座標   ,两个函数 泊松括號記作:

 

用辛標記,

 

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 343. ISBN 0201657023 (英语).