打开主菜单

辛矩陣

(重定向自辛矩阵

數學中,辛矩阵是指一個矩阵M(通常佈於實數複數域上),使之滿足

其中轉置矩陣,而是一個固定的可逆斜對稱矩陣;這類矩陣在適當的變化後皆能表為

兩者的差異僅在於基的置換,其中 單位矩陣。此外, 行列式值等於一,且其逆矩陣等於

性質编辑

凡辛矩阵皆可逆,其逆矩陣可表為

 

因此,辛矩陣具有如下運算性質:

  ,
  ,
  ,
 

此外,辛矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉,因此一個域 上的所有 階辛矩阵構成一個,記為 。事實上它是 的閉代數子群,其維度為 。當 時, 帶有自然的(複)李群結構。

由定義可知辛矩阵的行列式等於 ;事實上,可以利用普法夫值的公式:

 

由於  ,遂導出 

 時,有 。換言之:二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。

扭對稱變換编辑

線性代數的抽象框架裡,我們可以用偶數維向量空間 上的線性變換取代偶數階矩陣,並固定一個非退化反對稱雙線性形 以取代矩陣 (賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間),如此便得到與基底無關的定義:

定義。一個扭對稱向量空間 上的線性變換 若滿足
 
則稱 為扭對稱變換。

考慮 ,由於 ,故 ;另一方面, ,於是得到 。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。

固定 的一組基,藉此將 寫成矩陣 ,並將 表成斜對稱矩陣 ,便回到先前的定義:

 

相關條目编辑

外部連結编辑