迭代函数

数学中,迭代函数[1]是在碎形动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数,这个过程叫做迭代

定义编辑

集合   上的迭代函数的形式定义为:

  是集合和  函数。定义    次迭代    ,这里的   是在   上的恒等函数

在上述中,  指示函数复合;就是说  

換句話說,迭代函数也可以表示為以下的形式:

 

 定義為 

 定義為 反函數。(如果 的反函數不存在,則 也不存在)

因此, 就是    是恆等函數   的反函數(如果存在的話),而 就是能夠使得合成函數 正好是 的函數 

注意,一般情況下, 並不等於  ,而例如  的反函數,亦即 ,而不是 

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一些特殊函數的冪次為(其中   可為任意複數,亦即 ):

  (在 是負實數或虛數的時候並沒有定義,就好比  是負實數或虛數的時候也沒有定義)

  

  

  (注意迭代冪次要由右往左算)

   

   

(注意任何非零複數的任何複數次方都有定義: ,當 為負實數或虛數時, ,其中 為複數 絕對值 為複數 主幅角 為複數 實部 為複數 虛部

函數冪亦有類似指數律的定理,其中  可為任意複數,亦即 

 

 

注意函數的合成是不可交換的( 並不一定等於 )但因為可結合( 一定等於 ),所以會符合冪結合性,因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。

這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數,以及階乘運算跟排列組合運算  拓展到非整數和負數時(使用伽瑪函數)一樣,二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數,只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已,包括矩陣 次方以及微分 次( 為負整數時等同於積分 次),也都可以用這種方式,把 拓展到任意複數,或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列等比數列要求出全部項的和或乘積的公式,也都可以用這種方式,拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況(包括一般的  中, 為常見的函數如多項式函數指數函數對數函數三角函數的時候,  也能拓展到任意複數,就跟積分式 一樣),至於超運算 能不能拓展到分數、無理數或複數,則是數學中未解決的問題之一。

从迭代建立序列编辑

函数   的序列叫做 Picard 序列,得名于埃米尔·皮卡。对于一个给定    的值的序列叫做  轨道

如果对于某个整数   ,则轨道叫做周期轨道。对于给定   最小的这种   值叫做轨道的周期。点   自身叫周期点

不动点编辑

如果m=1,就是说如果对于某个X中的xf(x) = x,则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fixf)。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性,包括巴拿赫不动点定理Brouwer不动点定理

有很多技术通过不动点迭代英语Fixed-point iteration产生了序列收敛加速。例如,应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法,生成二次收敛。 不动点理论同样也适用于经济学领域。

极限行为编辑

通过迭代,可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下,会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说,迭代也可以表现得从一个单一点发散;这种情况叫不稳定不动点

当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候,轨道的会聚点的集合叫做极限集合ω-极限集合

吸引和排斥的想法类似推广;依据在迭代下小邻域行为,可把迭代分类为稳定集合不稳定集合

其他极限行为也有可能;比如,游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。

例子编辑

著名的迭代函数包括曼德博集合迭代函数系统

如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用,则迭代函数对应于自由群

参见编辑

引用编辑

  1. ^ 疊代iteration. 國家教育研究院辭書資訊網. 名詞解釋:指重複的一序列指令或事件;如程式的迴圈。 
  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7