反函數

在數學裡，反函數為對一個定函數做逆運算的函數。精确定义为，設$f$為一函數，其定義域為$X$，值域為$Y$。如果存在一函數$g$，其定義域和值域分別為$Y,\,X$，並對每一$x\in X$有： $g(f(x))=x\,$ 則稱$g$為$f$的反函數，記之為$f^{-1}$。注意上標「−1」指的並不是冪，跟在三角學裡特指$\sin x$平方的$\sin ^{2}x$不同。 例如，若給定一函數$f:x\mapsto 3x+2$，則其反函數為$f^{-1}:x\mapsto {\frac {x-2}{3}}$。 若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的。

函数ƒ和它的反函数ƒ^–1。由于ƒ把a映射到3，因此反函数ƒ^–1把3映射回到a。

簡單規則

一般而言，當$f(x)$為一任意函數，且$g$為其反函數，則$g(f(x))=x$，$f(g(y))=y$。換句話說，一反函數會取消原函數的作用。在上述例子，可以證明$f^{-1}$確為反函數，以將${\frac {x-2}{3}}$代入$f$的方式，如此

$3\times {\frac {x-2}{3}}+2=x$。

類似地，也可以將$f$代入$f^{-1}$來證明。

確實，$f$的反函數$g$的一等價定義，就是$g\circ f$為於$f$定義域上的恆等函數，且$f\circ g$為$f$值域上的恆等函數。（其中的"o"表示函數複合）

存在性

如果一函數$f$有反函數，$f$必須是一雙射函數，即：

• 單射：陪域上的每一元素都只被$f$映射至多一次。
• 滿射：陪域上的每一元素都必須被$f$映射到。

不然將沒有辦法對某些元素定義$f$的反函數。

設$f$為一实函数。若$f$有一反函數，它必通過水平線測試，即一放在$f$圖上的水平線$y=k$必對所有實數$k$，至多通過一次。換言之，當$k$位於$f$的值域時，$y=k$恰好通過f圖一次。

性質

• 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
• 原函数与其反函数的函数图像关于函数$y=x$的图像对称。
• 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
• 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如$y=x^{-3}$

另見

• 值域
• 逆關係
• 反函数定理