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逆矩陣(inverse matrix),又稱反矩陣。在线性代数中,給定一个n方陣,若存在一n 階方陣,使得,其中n单位矩阵,則稱可逆的,且逆矩陣,記作

线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

只有方陣(n×n 的矩陣)才可能有逆矩陣。若方阵的逆矩阵存在,则称非奇异方阵或可逆方阵。

行列式類似,逆矩陣一般用於求解聯立方程組。

目录

求法编辑

伴随矩阵法编辑

如果矩阵 可逆,则 其中  伴随矩阵

注意: 中元素的排列特点是 的第 元素是 的第 元素的代数餘子式。要求得 即为求解 余因子矩阵转置矩阵

初等变换法编辑

如果矩阵  互逆,则 。由条件 以及矩阵乘法的定义可知,矩阵  都是方阵。再由条件 以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是 方阵,且rank(A) = rank(B) = n.换而言之,   均为满矩阵)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。

因为对矩阵 施以初等行变换(初等列变换)就相当于在 的左边(右边)乘以相应的初等矩阵,所以我们可以同时对  施以相同的初等行变换(初等列变换)。这样,当矩阵 被变为 时, 就被变为 的逆阵 

性质编辑

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   为A的转置
  5.  (det为行列式

广义逆阵编辑

广义逆阵(Generalized inverse)又称伪逆,是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔-彭若斯广义逆,它是由E. H. Moore和Roger Penrose分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

参见编辑