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運動常數

經典力學裏,對於一個動力系統,隨著時間的演進,所有保持不變的物理量都稱為運動常數constant of motion),又稱為守恆量[1]它的作用有點類似運動的約束。可是,運動常數是數學的約束,自然地從運動方程式中顯現出來,而不是物理的約束;物理的約束會有相應的約束力來維持這約束。常見的運動常數例子有能量動量角動量拉普拉斯-龍格-冷次向量

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應用编辑

運動常數的辨認對於研究物理問題是非常重要的。通過解析運動常數,可以明瞭許多物體運動的性質,而不需將運動方程式的解答完全計算出來。假若一個物體的角動量向量是恆定的,則此物體的軌跡Trajectory)必包含於一個平面。在有些幸運的狀況下,甚至連運動軌跡都可以簡單地導引出來;因為它們是運動常數的等值曲面相交線。舉例而言,從潘索橢圓球Poinsot's ellipsoid)可以觀察出,一個淨力矩等於零的剛體旋轉,其角速度軌跡是一個圓球(角動量守恆)與一個橢圓球(能量守恆)的相交。用別種方法,這答案或許很不容易導引出。因此,運動常數的辨認是很重要的研究目標。

辨認運動常數的方法编辑

辨認運動常數的方法有好幾種:

  • 最簡單,但最無系統的方法是靠直覺。假設一個物理量是運動常數(或許是從分析實驗數據而得到的結論)。經過數學證明,可以論定,在物體的運動過程中,此量的值是保守的。
 

另外一個很有用的理論,帕松定理闡明:假若  都是運動常數,則它們的帕松括號 也是運動常數。

一個物理系統,假若擁有 自由度 個運動常數,其任何一對運動常數的帕松括號等於零,則稱此系統為完全可積分系統completely integrable system)。稱這一集合的運動常數互相對合

量子力學编辑

假若,一個可觀測量 哈密頓量 可交換的,而且不顯性地含時間,則此可觀測量是個運動常數。

導引编辑

假設,一個可觀測量 跟位置 、動量 、時間 有關。再假設一個波函數 遵守薛丁格方程式 。求 期望值對於時間 的導數,

   
 
 
 
 

其中, 交換子

假若, 哈密頓量 可交換的,而且不顯性地含時間,則

 

所以, 是運動常數。

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223. 
  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.