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R² 的连通和不连通子空间。上面的空间 A 是连通的,下面的空间 B 是不连通的。

定义编辑

拓扑空间X称为是连通的。当且仅当以下叙述之一成立:

一个拓扑空间被称为是不连通的,若它不是连通的。

连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质,即两个拓扑空间之间若存在一个同胚映射,其中一个空间是连通的,则另一个空间也是连通的。

一些数学家承认空集(按照它独有的拓扑)是连通空间,不过也有数学家不承认这一点。

连通单元编辑

连通子集
拓扑空间X的子集A称为连通的,当且仅当A诱导的子拓扑空间是连通的。
连通单元
拓扑空间的极大连通子集称作连通单元
完全不连通空间
拓扑空间X称为完全不连通空间,当且仅当X的连通单元都是单元素集合。

每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。

连通单元必然是闭的,在够好的空间(如流形代数簇)上也同时是开的,但并非总是如此。

其它连通性定义编辑

道路连通,弧连通编辑

 
R² 的这个子空间是道路连通的,因为在这个空间的任何两点之间可绘制一个道路。
称拓扑空间X是道路连通空间,当且仅当∀x,y∈X,存在连续函数  使得  。若  可取为使得  同胚,则称X为弧连通空间

道路连通空间是连通空间,反之不一定。

道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。

局部连通编辑

拓扑空间X称为局部连通的,当且仅当以下叙述之一成立:

  • 空间中的任一点都存在连通的邻域(即该邻域是X的连通子集)。
  • 空间的拓扑基完全由连通的集合组成。

例子编辑

  • 拓扑学家的正弦曲线。在平面欧几里得空间 中定义集合
     
     
    。考虑  中诱导的子拓扑空间,它是连通的,但不是局部连通的。
  • 有理数集上的连通单元都是单元素集合,所以有理数集是一个完全不连通空间。

參考文獻编辑