里奇流

内在的几何流

微分几何中,“里奇流”(Ricci flow)是一种固有的几何学流动,它的主要思想是让流形随时间变形,即是让度规张量随时间变化,观察在流形的变形下,里奇曲率是如何变化的,以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是里奇-哈密顿流方程,是一个拟线性抛物型方程组。

不同时期的里奇流的2D流形.

里奇流以義大利數學家格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗的名字命名,由美國數學家理查德·哈密顿于1981年首次引入,也称里奇-哈密顿流。这个工具同时被俄羅斯數學家格里戈里·佩雷尔曼用于解决庞加莱猜想[1]。同样的,西蒙·布伦德理查德·肖恩正是使用它,微分球面定理英语Sphere theorem(differentiable sphere theorem)使得完成证明。

数学定义编辑

给定黎曼流形上一个度规张量 可以计算出里奇张量  則这个度规张量(以及里奇张量)是一族与时间 t 有关的函数(儘管不一定是真实的物理相关的时间),然后里奇流的定义由以下几何演变方程(geometric evolution equation)給出[2]

 

正规化的里奇流需要结合紧空间流形给出方程:

 

这里的   是关于标量曲率(為里奇張量的)的平均值, 是流形的維數,这个正规化方程保持度量的體積不變。

实际上,这个-2 因数意义不大,因為可以常數乘 t 而使 -2 改寫成任意的非零實數。

参考文献编辑

  1. ^ Perelman, Grisha. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. November 11, 2002. arXiv:math.DG/0211159 [math.DG]. 
  2. ^ Friedan, D. Nonlinear models in 2+ε dimensions. PRL. 1980, 45 (13): 1057 [2017-11-02]. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057. (原始内容存档于2019-06-30).