重整化群

理论物理中,重整化群(renormalization group,简称RG)是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。

标度上的变化称为“标度变换英语Scale transformation”。重整化群与“标度不变性英语Scale invariant”和“共形不变性英语Conformal invariant”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换,它们都与自相似有关。在重整化理论中,系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度,但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子基本粒子自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

方程编辑

基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度,重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程:[1]

g(μ) = G−1( (μ/M)d G(g(M)) ) ,

g(κ) = G−1( (κ/μ)d G(g(μ)) ) = G−1( (κ/M)d G(g(M)) )

费恩曼朱利安·施温格朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖,因为他们都把重整化以及正規化等想法应用于量子电动力学[2][3][4]

利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化[5]

然后肯尼斯·威爾森使用重整化群解决近藤问题[6] 以及描述临界现象和第二相變[7][8][9] 他1982年赢了诺贝尔奖[10]

块自旋编辑

这一节介绍重整化群的一个简单图像:块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。[5]

首先考虑一个固体,如图所示,原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用,且这一系统的温度为 ,相互作用的强度使用耦合常数 来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达,记为 

 

现在,我们把这个系统分为有着 个方块的块区,进而用块变量来描述这个系统,这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述,只不过参数  不同(事实上这一假设当然并不成立,但在实际应用中这一近似已足够好)。

原本这个系统内有较多的原子,现在,在问题重整化后,只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到 ,这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然,最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说,当迭代很多次后,重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。

现在考虑一个具体的例子:铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里,耦合常数 代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点:

  1.   。从宏观上来看,温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。
  2.   。与第1种情形正好相反,温度对系统的影响占据了主导,系统在宏观上变得无序。
  3.   。在这一特定的状态上,改变系统的标度不改变系统的物理性质,因为系统处于分形态上。这对应居里相变,这个点称为临界点

基本理论编辑

假设有一个可以用状态变量 和一组耦合常数 表示的函数 。这个函数必须能够用来描述整个物理系统,比如某个配分函数作用量哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换  所包含的数目必须小于 。接下来我们可以把函数 只用 来表示。如果 也是可以实现的,那么就说这个物理系统是可重整化的。

最基本的物理理论都是可以重整化的,比如量子电动力学量子色动力学,电弱相互作用等,但是引力是无法重整化的。此外,凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的,比如超导超流

变量的变换可以由一个β函数实现: 。这一函数可以在 空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的,这一变换不可逆,所以这一变换实际上是数学上的半群。

举例计算编辑

参见Phi fourth theory英语Quartic interaction(四次交互论;  论)。欧几里得空间的拉氏量

 

配分函数泛函积分是:

 

通过重正化以及正规化   

 

 

 
 

所以

 

介绍  

 

所以新的拉氏量是 以及

 

  不同于 ,因为  改变了。 上面的 Z 陈述一个effective field theory英语effective field theory。若  .

 

假设

 
 
 
 
 

所以

 

耦合常數的变量为  耦合常數的演进是动力系统临界点

 

三种耦合编辑

  • 无关耦合(irrelevant):耦合减少了
  • 相关耦合(relevant):耦合增加了
  • 边缘耦合(marginal):耦合不变

 ,因为 所以B和C是无关的,m是相关的,并且 是边缘的。

而且 论是可重整化的。

动力系统的重整化编辑

米切爾·費根鮑姆使用重整化群计算費根鮑姆常数,而且将重整化应用于分岔理論[11]

阿图尔·阿维拉巴西数学家)也将重整化群应用于动力系统費根鮑姆常數[12][13]

其他应用包括:

参见编辑

扩展阅读编辑

入门教程与历史回顾编辑

相关著作编辑

  • T. D. Lee 李政道; Particle physics and introduction to field theory, Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1]. 是总结
  • L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0].
  • Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
  • Zinn-Justin, Jean; Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
  • The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. Full text available in PostScript.
  • Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ4-Theories, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in PDF页面存档备份,存于互联网档案馆).

参考文献编辑

  1. ^ M. Gellman and F. E. Low. Quantum Electrodynamics at Small Distances (PDF). (原始内容存档 (PDF)于2018-07-24). 
  2. ^ Mehra, Jagdish; Milton, Kimball A. Schwinger, Tomonaga, Feynman, and Dyson: the triumph of renormalization. Oxford University Press https://www.oxfordscholarship.com/view/10.1093/acprof:oso/9780198527459.001.0001/acprof-9780198527459-chapter-8. 2003-08-14. ISBN 978-0-19-170959-3. doi:10.1093/acprof:oso/9780198527459.001.0001/acprof-9780198527459-chapter-8 (美国英语).  缺少或|title=为空 (帮助)
  3. ^ Sin-Itiro Tomonaga Nobel Lecture. NobelPrize.org. 1966 [2020-03-04] (美国英语). 
  4. ^ Schwinger. Renormalization theory of quantum electrodynamics (PDF). 
  5. ^ 5.0 5.1 Kadanoff, Leo P. Scaling laws for ising models near T c. Physics Physique Fizika. 1966-06-01, 2 (6): 263–272. ISSN 0554-128X. doi:10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263 (英语). 
  6. ^ Wilson, Kenneth G. The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem. Reviews of Modern Physics. 1975-10-01, 47 (4): 773–840. ISSN 0034-6861. doi:10.1103/RevModPhys.47.773 (英语). 
  7. ^ Wilson, Kenneth G. Renormalization Group and Critical Phenomena. I. Renormalization Group and the Kadanoff Scaling Picture. Physical Review B. 1971-11-01, 4 (9): 3174–3183. ISSN 0556-2805. doi:10.1103/PhysRevB.4.3174 (英语). 
  8. ^ Wilson, Kenneth G. Renormalization Group and Critical Phenomena. II. Phase-Space Cell Analysis of Critical Behavior. Physical Review B. 1971-11-01, 4 (9): 3184–3205. ISSN 0556-2805. doi:10.1103/PhysRevB.4.3184 (英语). 
  9. ^ Wilson, Kenneth G.; Fisher, Michael E. Critical Exponents in 3.99 Dimensions. Physical Review Letters. 1972-01-24, 28 (4): 240–243. ISSN 0031-9007. doi:10.1103/PhysRevLett.28.240 (英语). 
  10. ^ THE RENORMALIZATION GROUP AND CRITICAL PHENOMENA (PDF). K. G. Wilson. 
  11. ^ Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976 (PDF). (原始内容 (PDF)存档于2010-12-14). 
  12. ^ Étienne Ghys. The work of Artur Avila (PDF). 
  13. ^ A. Avila. Papers. 
  14. ^ Hairer. Solving the KPZ equation. 
  15. ^ Hairer, Martin. Renormalisation of parabolic stochastic PDEs. arXiv:1803.03044 [math-ph]. 2018-03-08. 
  16. ^ Chandra, Ajay; Hairer, Martin. An analytic BPHZ theorem for regularity structures. arXiv:1612.08138 [math-ph]. 2018-01-22.