重言1形式

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数学中,重言 1-形式Tautological one-form)是流形 Q余切丛 上一个特殊的 1-形式。这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了 辛流形结构。重言 1-形式在哈密顿力学拉格朗日力学的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有时也称为刘维尔 1-形式典范 1-形式,或者辛势能。一个类似的对象是切丛上的典范向量场

典范坐标中,重言 1-形式由下式给出:

在差一个全微分(恰当形式)的意义下,相空间中的任何“保持”典范 1-形式结构的坐标系,可以称之为典范坐标;不同典范坐标之间的变换称为典范变换

典范辛形式

给出。

无坐标定义编辑

重言 1-形式可以相当抽象地定义为相空间上一个 1-形式。设   是一个流形,  是其余切空间或者说相空间。设

 

是典范纤维丛投影,令

 

  诱导的前推。设 mM 上一点,然而因为 M 是余切丛,我们可将 m 理解为切空间上一个函数,在   点为:

 

这样,我们便有 m 是在 q 点的纤维中。重言 1-形式   在点 m 定义为

 

这是一个线性函数

 

所以

 

是流形   上一个 1-形式。不难验证这种定义和上一节局部坐标的定义是相同的。

性质编辑

重言 1-形式是惟一“消去”拉回的 1-形式。这便是说:若

 

Q 上任意一个 1-形式,而   是其拉回。那么

 

以及

 

这些都可以用上一节的定义直接得到,如果写成局部坐标的形式就最好理解:

 

作用量编辑

如果 H余切丛上一个哈密顿向量场,而   是其哈密顿流,那么相应的作用量 S

 

用普通的方式表述,哈密顿流代表了一个力学系统在哈密顿-雅可比方程限制下的轨道。哈密顿流是哈密顿向量场的积分曲线,所以我们用作用量-角度坐标传统记法:

 

这里积分理解为在流形上的维持能量   为常数   的子集上进行。

在度量空间上编辑

如果流形 Q 有一个黎曼或者伪黎曼度量 g,那么相应的定义可以用广义坐标写出。特别地,如果我们取度量为映射

 

这样便定义了

 

 

TQ 上的广义坐标中   ,我们有

 

以及

 

度量使我们可定义   上的一个单位半径球面(丛)。典范 1-形式限制到这些球面上组成了一个切触结构;这个切触结构可以用来生成关于这个度量的测地流

又见编辑

参考文献编辑