链式法则

連鎖律,亦稱連鎖法則(英語:Chain rule),用于求合成函数導數

正式表述编辑

兩函數   定義域 (  ) 、值域 (  ) 都包含於實數系   ,若可以定義合成函數   (也就是   ),且    可微分,且    可微分,則

 

也可以寫成

 

例子编辑

求函数  的导数。

 
 
 
 

求函数  的导数。

 
 
 

证明编辑

嚴謹的證明需要連續函數的極限定理:

兩函數    的定義域、值域都包含於實數系,若可以定義合成函數  

  •  
  •  

則有

 

(證明提示:展開極限的δ-ε定義,並考慮   等於或不等於   的兩種狀況。)

讓我們定義一個函數   ,其定義域   , 而對應規則為

 

這樣的話

 

因為可微則必連續(根據乘法的極限性質),所以    連續、    連續,故根據上面的極限定理有

 

再根據乘法的極限性質

 

即為所求。  

多元复合函数求导法则编辑

考虑函数z = f(x, y),其中x = g(t),y = h(t),g(t)和h(t)是可微函数,那么:

 

假设z = f(u, v)的每一个自变量都是二元函数,也就是说,u = h(x, y),v = g(x, y),且这些函数都是可微的。那么,z的偏导数为:

 
 

如果我们考虑

 

为一个向量函数,我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度 的偏导数的数量积

 

更一般地,对于从向量到向量的函数,求导法则为:

 

高阶导数编辑

复合函数的最初几个高阶导数为:

 
 
 
 

参见编辑