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連鎖律、链式法则鏈鎖定則(英语:chain rule),是求复合函数导数的一个法则。设为两个关于可导函数,则复合函数的导数为:

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例子编辑

求函数  的导数。

 
 
 
 

求函数  的导数。

 
 
 

证明编辑

fg为函数,x为常数,使得fg(x)可导,且gx可导。根据可导的定义,

 ,其中当 时, 

同理,

 ,其中当 时, 

现在

   
 

其中 . 注意到当 时,  ,因此  。因此

 

多元复合函数求导法则编辑

考虑函数z = f(x, y),其中x = g(t),y = h(t),g(t)和h(t)是可微函数,那么:

 

假设z = f(u, v)的每一个自变量都是二元函数,也就是说,u = h(x, y),v = g(x, y),且这些函数都是可微的。那么,z的偏导数为:

 
 

如果我们考虑

 

为一个向量函数,我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度 的偏导数的数量积

 

更一般地,对于从向量到向量的函数,求导法则为:

 

高阶导数编辑

复合函数的最初几个高阶导数为:

 
 
 
 

参见编辑