長方體
長方體
長方體模型
類別 柱體
6
12
頂點 8
歐拉特徵數 F=6, E=12, V=8 (χ=2)
面的種類 正方形長方形方形矩形
頂點圖 V4.4.4
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
施萊夫利符號 { }×{ }×{ }或{ }3
對稱群 D2h, [2,2], (*222), order 8
對偶 雙矩形錐
特性 、 等角
Net of cuboid.png
(展開圖)

幾何學中,長方體是一種由六個矩形組成、且每條對應的二面角都是直角的凸多面體,是四角柱的一種,也是一種現代建築常見的形狀[1]。其對應的英文單詞Cuboid則是泛指所有由6個四邊形以類似立方體的互相連接方式組成的立體[2],其對應的多面体图立方體對應的多面體圖相同,但習慣上仍然會以長方體稱之[3]。在部分初等教育的教材中會將立方體視為長方體的一個特例[4]

性質编辑

長方體是一種六面體,由6個矩形組成,共有6個面、12條邊和8個頂點。每條相鄰的邊皆互相垂直、每個相鄰的面也互相垂直[5]。長方體被平面所截後,截面的形狀有可能是三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形、菱形、鷂形、五邊形和六邊形。[6]

組成编辑

長方體與立方體拓樸結構相同,皆具有6個面、12條邊和8個頂點,其中每條邊都是兩個矩形的公共邊,對應的稜之二面角為直角。8個頂點中,每個頂點都是3個矩形的公共頂點,對應的角為三面角。在長方體的6個矩形面中,一般可以分為3組兩兩全等的矩形[5]

體積與表面積编辑

長方體各邊的邊長通常可以分為長、寬及高,若已知長方體的長、寬及高則其體積與表面積為:

 

展開圖编辑

邊長全部等長的長方體,即立方體,其共有11種展開圖[9],而有2種邊長的長方體(或稱正四角柱)其展開圖有27種[10],而若長方體是有3種邊長的長方體,則展開圖的數量有54種[11][12]

種類编辑

長方體大致可以分為三種,一種是有三組等長邊的長方體、另一種是有三組等長邊的長方體,通常可以稱為正四角柱,最後一種是長方體的特例,即所有邊等長的長方體,稱為立方體或正方體[4]

名稱 正方體
長方體
正四角柱
考克斯特記號                  
施萊夫利符號 {4,3} {4}×{ }
rr{4,2}
{ }3
tr{2,2}
威佐夫符號 3 | 4 2 4 2 | 2 2 2 2 |
對稱性 Oh
[4,3]
(*432)
D4h
[4,2]
(*422)
D2h
[2,2]
(*222)
對稱性階數 24 16 8
圖像      
對應相同對稱性
的立方體表面
塗色結果
     

用途编辑

長方體常見於日常生活中,如包裝盒[13]、搬運用紙箱[14][15][16]貨櫃[17]、一些家具的形狀[18](如桌子、櫃子、床等)、現代建築物的形狀[1]等。而在產品包裝方面,由於長方體是一種可以獨立填滿空間的形狀[19],因此許多產品(如飲料包裝)會選擇使用長方體的方式進行包裝。[20]

參見编辑

参考文献编辑

  1. ^ 1.0 1.1 彭琛. 谈现代工业建筑的立面设计. 四川建材. 2013, (1): 84––86. 
  2. ^ Dupuis, Nathan Fellowes. Elements of Synthetic Solid Geometry. Macmillan. 1893: 53 [2018-12-01]. 
  3. ^ Robertson, Stewart Alexander. Polytopes and Symmetry. Cambridge University Press. 1984: 75. ISBN 9780521277396. 
  4. ^ 4.0 4.1 長方體與正方體的分類及命名 (PDF). wd.naer.edu.tw. [2019-09-28]. (原始内容存档 (PDF)于2019-09-28). 
  5. ^ 5.0 5.1 生活中的立體圖形. 教育部中學學習資源. 
  6. ^ 黃慧儀, 馮振業, 長方體的截面 (PDF), EduMath, 2010, 30 [2019-09-28], (原始内容存档 (PDF)于2019-09-28) 
  7. ^ 7.0 7.1 Weisstein, Eric W. (编). Cuboid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  8. ^ 『体積』の教科書制作 (PDF), 木曜3限数学心理学(2013年度) (鳥取大学), [2019-09-28], (原始内容存档 (PDF)于2019-09-28) 
  9. ^ Weisstein, Eric W. (编). Cube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  10. ^ 直方体の展開図. 2007年03月08日 [2019年9月28日]. (原始内容存档于2019年9月28日). 
  11. ^ 齋藤徳顕, 松山優子, 渡辺総一郎. 空間図形とその指導 (PDF). 三重大学教育学部. [2019-09-28]. (原始内容存档 (PDF)于2019-09-28). 
  12. ^ 立方体・直方体の展開図の形は何種類?. feynmanino.watson.jp. [2019-09-28]. (原始内容存档于2019-09-28). 
  13. ^ 正方體與長方體 (PDF). 國家教育研究院. [2019-09-28]. (原始内容存档 (PDF)于2019-09-28). 
  14. ^ Soroka, W. Illustrated Glossary of Packaging Terms. Institute of Packaging Professionals. 2008: 33. ISBN 1-930268-27-0. 
  15. ^ Koning, J. Corrugated Crossroads. TAPPI Press. 1995: 35. ISBN 0-89852-299-4. 
  16. ^ 李广才, 孙诚, 黄利强. 硬质直方体集装箱装载系统的开发与优化. 包装工程暋 PACKAGING ENGINEERING. 2011, 32 (3). 
  17. ^ 闻顺发. 國際貿易操作實務. 五南. 2005: 269,. ISBN 9789571140667. 
  18. ^ 王麗卿, 聶志高, 陳國祥. 建築形式在家具設計上的關連性運用. 設計學報 (Journal of Design). 2009, 10 (2). 
  19. ^ Subramanian, Sai Ganesh and Eng, Mathew and Krishnamurthy, Vinayak and Akleman, Ergun, Delaunay Lofts: A New Class of Space-filling Shapes, ACM SIGGRAPH 2019 Posters, SIGGRAPH '19 (Los Angeles, California: ACM), 2019: 81:1––81:2, ISBN 978-1-4503-6314-3, doi:10.1145/3306214.3338576 
  20. ^ 李祐宗. 飲料包的數學. 湖縣國教輔導團.