閉圖像定理

閉圖像定理數學泛函分析的一條定理。

敘述编辑

  巴拿赫空間 線性算子。定義 圖像 的子空間

 

賦予 範數 ,使得 成為巴拿赫空間。那麼,這定理指 連續的(與有界等價)當且僅當  內是閉集。

證明编辑

閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。

 是閉集的充分必要條件是如果序列 (即對任意  ),而 ,那麼  。如果 是連續的,從連續性立刻可知 是閉集,因為連續性是更強的條件:如果 ,則 

如果 是閉集,可以在 定義線性算子

 
 

顯然 ,因此 是有界算子。

 是巴拿赫空間 中的閉子空間,所以 是巴拿赫空間。 也是巴拿赫空間, 雙射,從而由開映射定理的系可知,其逆 為有界算子。

因為 ,故 也是有界的。

推論编辑

從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。