開爾文環流定理

流體動力學上,開爾文環流定理(英語:Kelvin's circulation theorem,由第一代開爾文男爵威廉·湯姆森於1869年發表[1],因此以他命名)描述在徹體力保守正壓理想流體中閉合曲線(包圍相同的流體元)的環流在流體運動時並不會隨時間而改變[2]。其數學描述為

其中為材料圍線環流。用更簡單的話來說,這條定理所指的是,若觀察閉合圍線並注意它一段時間(注意所有流體元的運動)的話,則始終兩者間的環流相等。

本定理在有黏性應力、非保守徹體力(例如科里奥利力)或非正壓的壓力-密度關係的情況下並不成立。

數學證明编辑

材料圍線 的環流  的定義為:

 

其中u為速度向量,ds為沿着閉合圍線的單元。

徹體力保守的非黏性流體的主宰方程式為

 

其中D/Dt為實質導數,ρ為流體密度,p為密度,以及Φ為徹體力的勢。上式為帶徹體力的歐拉方程。

正壓性條件意味着密度是壓力的函數,且為其唯一自變量,即 

取環流的實質導數,得:

 

把主宰方程式代入第一項並使用斯托克斯定理,得:

 

最後的等式是源自 ,它是正壓性的結果。同時亦使用了任何函數 的梯度的旋度皆為零這一事實 

已知材料線元的時間進化由下式給出(可由實質導數的定義求得)

 

因此

 

使用交換律後再使用 。而最後的等式則使用了斯托克斯定理。

由於第一項及第二項皆為零,得

 

参见编辑

參考資料编辑

  1. ^ Sir W. Thomson. On Vortex Motion. Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 1869, 25: 217–260. 
  2. ^ Kundu, P and Cohen, I: Fluid Mechanics, page 130. Academic Press 2002