阿贝尔定理

定理

${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$ 為一冪級數，其收斂半徑R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数${\displaystyle z_{0}}$ 级数${\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}}$ 收斂，則有: ${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}f(tz_{0})=\sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}R^{n}}$ 收斂，則結果顯然成立，無須引用這定理。

证明

${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}f(tz_{0})=\lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n\geq 0}a_{n}t^{n}z_{0}^{n}=\sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}}$

${\displaystyle b_{n}=a_{n}z_{0}^{n}}$ ，则幂级数${\displaystyle \sum _{n\geq 0}b_{n}z^{n}}$  的收敛半径为1，并且只需证明

${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n\geq 0}b_{n}t^{n}=\sum _{n\geq 0}b_{n}}$

${\displaystyle b_{0}^{\prime }=b_{0}-\sum _{n\geq 0}b_{n}}$ ，则可化归到${\displaystyle \sum _{n\geq 0}b_{n}=0}$ ，于是以下只需要考虑${\displaystyle \sum _{n\geq 0}b_{n}=0}$  的情况。

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{n}}$ ，那么${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S_{n}=0}$ 。由幂级数性质可知${\displaystyle \sum _{n\geq 0}S_{n}z^{n}}$  的收敛半径也是1。于是

${\displaystyle .\ \ \lim _{N\to +\infty }\sum _{n=0}^{N}b_{n}t^{n}=\lim _{N\to +\infty }\sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})t^{n}}$
${\displaystyle =\lim _{N\to +\infty }\left(\sum _{n=0}^{N-1}S_{n}(t^{n}-t^{n+1})+S_{N}t^{N}\right)}$
${\displaystyle =(1-t)\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}t^{n}}$ （因为${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S_{n}t^{n}=0}$

${\displaystyle \forall m>N_{0}}$ ${\displaystyle |s_{m}|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

${\displaystyle \forall 0\leq t\leq \delta }$ ${\displaystyle |1-t|\sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}\leq {\frac {\epsilon }{2}}}$

${\displaystyle .\ \ |\lim _{N\to +\infty }\sum _{n=0}^{N}b_{n}t^{n}|\leq |(1-t)\sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}t^{n}|+|(1-t)\sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }S_{n}t^{n}|}$
${\displaystyle \leq {\frac {\epsilon }{2}}+|1-t|{\frac {\epsilon }{2}}\sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }|t|^{n}\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}{\frac {|1-t|}{1-|t|}}}$
${\displaystyle \displaystyle =\epsilon }$

${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n\geq 0}b_{n}t^{n}=0=\sum _{n\geq 0}b_{n}}$

${\displaystyle D_{\alpha }=\left\{|t|\leq 1\left|\right|{\frac {|1-t|}{1-|t|}}\leq \alpha \right\}}$

例子和应用

1. 为计算收敛级数${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$ ，設${\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\log(1+x)}$ 。于是有${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\log 2}$
2. 为计算收敛级数${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$ ，設${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x)}$ 。因此有${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$

参考来源

• （法文）Srishti.D.Chatterji. Cours d'Analyse. Editions polytechniques et universitaires romandes. 1997.
• （法文）Alekseev. Theorème D'Abel: Un Cours D'Arnold. Cassini. 2007.