阿贝尔定理

阿貝爾定理冪級數的一個重要結果。

定理编辑

 為一冪級數,其收斂半徑R。若对收敛圆(模长为 R 的复数的集合)上的某个复数 级数 收斂,則有:  

 收斂,則結果顯然成立,無須引用這定理。

证明编辑

设级数 收斂,下面证明:

 

 ,则幂级数  的收敛半径为1,并且只需证明

 

 ,则可化归到 ,于是以下只需要考虑  的情况。

 ,那么 。由幂级数性质可知  的收敛半径也是1。于是

 
 
 (因为 

对于任意的 ,固定  使得

  

再固定 使得

  

于是对 

 
 
 

这就证明了

 

于是阿贝尔定理得证。

从证明中可以看出,对于一个固定的正数 ,设区域:

 

那么只要  趋近于1,就有阿贝尔定理成立。

例子和应用编辑

阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上 项,将问题转换为幂级数求和,最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知,这个极限就是原级数的和。

  1. 为计算收敛级数 ,設 。于是有 
  2. 为计算收敛级数 ,設 。因此有 

参考来源编辑

  • (法文)Srishti.D.Chatterji. Cours d'Analyse. Editions polytechniques et universitaires romandes. 1997. 
  • (法文)Alekseev. Theorème D'Abel: Un Cours D'Arnold. Cassini. 2007.