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作用在两个相同形状的矩阵上的哈达玛积,结果是第三个相同形状的矩阵。

数学中,哈达玛积 (又名舒尔积[1]逐项积[2]:ch. 5) 是一个二元运算,其输入为两个相同形状的矩阵,输出是具有同样形状的、各个位置的元素等于两个输入矩阵相同位置元素的乘积的矩阵。

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定义编辑

若两个矩阵AB具有相同的维度m × n,则它们的哈达玛积AB是一个具有相同维度的矩阵,其元素值为:

 

对于维度不相等的矩阵(m × n矩阵和 p × q矩阵,其中mpnq),哈达玛积没有定义。

样例编辑

 矩阵A 矩阵B的哈达玛积为:

 

性质编辑

哈达玛积满足交换律 (当其元素属于交换环时), 结合率和对加法的分配律

 

对哈达玛积而言,m × n矩阵的单位矩阵是全部元素均为1的m × n矩阵。这跟普通矩阵乘积的只有主对角线上的元素为1的单位矩阵不同。

参考资料编辑

  1. ^ Davis, Chandler. The norm of the Schur product operation. Numerische Mathematik. 1962, 4 (1): 343–44. doi:10.1007/bf01386329. 
  2. ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. Matrix analysis. Cambridge University Press. 2012.