除數函數

在數論上，除數函數是一類算術函數。

除數函數$\sigma _{x}(n)$定義為n的正因數的$x$次冪之和，即

$\sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}$

其中一些特殊情況：

• $\sigma _{0}(n)$ ：$n$的正因數的數目
• $\sigma _{1}(n)$ ：$n$的正因數之和（包括自己）

σ_x(n)的值

n / x	0	1	2
1	1	1	1
2	2	3	5
3	2	4	10
4	3	7	21
5	2	6	26
10	4	18	130
12	6	28	210
20	6	42	546
25	3	31	651

性質

• $\sigma _{x}(n)$都是積性函數，但不是完全積性。
• $\sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}$，而這等式與$\sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x})$相等，$\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x})$即$n$的各因數的$x$次方後的和，此式在$x=1$時即為$n$包括$n$本身在內的各因數的和。
• $\sigma _{x}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{x-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {\frac {2\pi \nu n}{\mu }}$
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)$
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.$

參考

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9